Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrices unipotentes et autres
Bonjour, pourriez vous m'aider sur cette petite question svp :
On considere des matrices carrées reeles d'ordre superieur ou egal a 2.
On dot qu'une matrice U est unipotente si est nilpotente.
Pour A une matrice nilpotente on note :
exp(A)
et
ln()
Pour 2 matrices nilpotentes A et B qui commutent, exprimer exp(A+B) en fonction de exp(A) et de exp(B);
Pour 2 matrices unipotentes U et V qui commutent, exprimer ln(UV) en fonction de ln(U) et de ln(V).
Voila voila merci a tous d'avance
Si A et B sont nilpotentes, (d'ordre p et q) et commutent, A+B est nilpotente d'ordre<=p+q (il suffit de calculer). De même (I+A)(I+B)-I
À partir de là, les exponentielles et logarithmes se calculent comme avec des scalaires et exp(A+B)=exp(A)*exp(B) et ln(UV)=ln(U)+ln(V)
Par exemple sur exp(A+B) on développe le terme (A+B)^k en termes C(i,k)A^i*B^(k-i) et on change l'ordre des sommations entre i et k
Justement je ne vois pas trop comment on permute l'ordre des sommations car je ne retrouve pas le produit car les coefficients binomiaux ne s'en vont pas...
Pourrais tu me decrire un peu mieux l'evolution du calcul pour l'exponentielle stp ?
Merci
C'est comme avec des scalaires (c'est même plus simple, car comme les matrices sont nilpotentes les séries ne sont pas infinies)
exp(a+b)=Somme(k=0 à +inf)(a+b)^k/k!=Somme(k=0à inf)1/k!Somme(i=0 à k)C(k,i)a^ib^(k-i)
=Somme(k=0à inf)Somme(i=0 à k)a^i*b^(k-i)/(i!(k-i)!), et en posant j=k-i
=Somme(i=0à inf)Somme(j=0 à +inf)a^i*b^j/(i!j!)=Somme(i=0à inf)a^i/i!*Somme(j=0à inf)b^j/j!
donc exp(a+b)=exp(a)*exp(b)
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac