bonjour,

par permutation des lignes L1 => L2  L2=> L3 L3=> 1
(6 -11  6)
(0   1  0)
(0   0  1)
                  
donc A diagonalisable.

K.

Bonjour à tous

disdrometre> je ne vois pas comment tu peux en conclure directement que A est diagonalisable. En effet, la matrice obtenue et A ne sont pas semblables.

Kaiser

Merci , en fait la question est stupide puisque toute matrice(n,n)  est trigonalisable ! quand on calcule les valeurs propres de cette matrice on se rend compte que celles-ci sont distinctes, et donc qu'elle n'est pas diagonalisable.

Oui ,

J'ai devant les yeux un théorème qui me dit que toute matrice A de M(n,n) est semblable a une matrice triangulaire (superieure ou inferieure)...

c'est faux si l'on ne précise pas le corps sur lequel on se place.
Plus précisément, toute matrice à coefficients complexes est semblable à une matrice triangulaire à coefficients complexes.
c'est faux si l'on impose que tous les coefficients soient réels.

Oui c'est exact , il est bien précisé ici que l'on se trouve dans le corps des complexe , au temps pour moi...

Seulement je ne vois pas comment résoudre l'exercice du coup, puisque dans l'exo , la matrice A est bien dans le corps R des réels... il demandent si l'on peut déterminer sans calculs si la matrice est trigonalisable ou non !


j'aurai tendance a vouloir répondre que l'on ne peut pas !

Peux-tu donner l'énoncé exact de l'exercice, s'il te plaît ?

Soit la matrice AM(3,3)(R) définie par :

      (0  1  0)  
A = (0  0  1)
      (6 -11 6)

1. Peut-on, sans calcul, dire si la matrice A est trigonalisable ?
2. Calculer les valeurs propres de A.
3. Peut-on, à l'aide de la question précédente et sans calculer ses vecteurs
propres, dire si A est diagonalisable ?


Voila , merci d'avance

A priori, vu comme l'énoncé est présenté, j'aurais aussi tendance à dire que l'on ne peut faire ça sans calcul étant donné qu'à la dernière question, on nous demande si la 2ème question le permet.
Je ne sais pas si je me suis fait comprendre.

Désolé, j'ai mal lu l'énoncé. oublie mon message précédent !

Oui je vois... enfin c'est vrai que c'est un peu bizarre comme question ,
merci en tout cas...

lol , ouai a la fin on nous demande si elle est diagonalisable... enfin je sais pas , une matrice diagonale c'est une matrice triangulaire superieure , non?

oui, c'en est bien une.

Désolé

=> je voulais dire triangulaire.

K.

disdrometre> En fait, ça ne change toujours rien parce que les deux matrices ne sont pas semblables. Je me trompe peut-être mais j'aurais voulu connaître le raisonnement qu'il y avait derrière.

OK je comprends.

et maintenant est-ce un raisonnement correct ?

en utilisant : un endormorphisme est trigonalisable ssi il existe une base pour lequel il existe une représentation matricielle triangulaire

posons (e1 e2 e3)

la base pour lequel f a

une pour représentation matriciel de la forme

(0  1  0)  
(0  0  1)
(6 -11 6)

mais dans la base (e2, e3 e1)

(1  0  0)  
(0  1  0)
(-11 6 6)

K.

Quand on fait une permutation de la base, on doit non seulement permuter les colonnes mais aussi les lignes.
Si la dernière matrice était bien celle de f dans la base , cela voudrait dire que l'on a ce qui est faux car on a .

Merci bien pour toutes ces précisions ....

Une autre question me turlupine... on me dit que D est une matrice diagonale semblable a A (matrice carrée quelconque). On me demande , a partir de la forme géneralé de D^n (soit tous les coefficients de la diagonale élevés a la puissance n) , d'imaginer un moyen de pouvoir calculer facilement la matrice A^n      .... j'avou que je ne vois pas du tout comment faire (il faut passer par une matrice de passage , et ca devient le b***l tout de suite) !

Si quelqu'un a une idée...

Si D est semblable à la matrice A, c'est qu'il existe une matrice inversible P telle que .
Que remarques-tu lorsque tu éléves chaque côté à la puissance n ?
Regarde d'abord pour n=1,2,3..

Youpi j'ai trouver ,
merci d'aider les gens en les mettant sur la voie , c'est toujours plus gratifiant !
Merci beaucoup aux modérateurs de ce site qui font un très bon travail !

Mais je t'en prie !

Kaiser tu as raison,
et merci d'avoir corrigé mes âneries...

K.

Tu sais, tout le monde fait des erreurs !