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Matrix projection orthogonale de R3 dans R2

Posté par
sara21 28-06-13 à 02:54

Bonsoir,

Voici l'exercice que je dois résoudre:
Soit les 3 vecteurs de la base standard dans R3: e1,e2,e3
Trouver la matrice de la projection de ces vecteurs sur un triangle équilatéral dans R2
sachant que la projection de (1,0,0) est (1,0).

Je pense qu'il y a quelque chose que j ai dû mal comprendre, jusqu'ici je me suis dit que le vecteur n=(1,1,1) est un vecteur normal à ce plan mais je ne peux pas utiliser la formule:
Projection(e2) = e2-(<e2,n>/(norm(n))^2).n...
Que dois-je faire? Par ou commencer avec cette projection du vecteur e1..?


Merci beaucoup!

Posté par
DOMOREAMatrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 08:39

Bonjour,
Ta question est mal posée car elle n' a pas de sens.
Tu parles de projection orthogonale de l'espace vectoriel R3 sur un sous-espace vectoriel de dimension 2 de R3 , donc sur un plan vectoriel de R3.Peut-être veux-tu parler d'un plan vectoriel qui serait défini par les vecteurs \vec{AB},\vec{AC}?
Essaye de mieux expliciter ton problème.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 10:38

Bonjour,

Merci d avoir quand meme essayé de répondre!

En fait vu que j'ai il me semble vraiment copier l enoncé voici sur wikipedia exactement l image de mon problème:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_isom%C3%A9trique

c'est l image avec le triangle rouge sous le paragraphe: "transformation des coordonnées"
mais là non plus je ne comprends pas ce qu'il font...

merci!

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 10:39


désolée, problème de copier/coller:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_isométrique

Posté par
DOMOREAMatrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 16:56

bonjour,
ta formule est bonne pour la projection de e2
tu écris des expression analogue pour e1 et e3
n'oublie pas que n=e1+e2+e3
tu peux donc écrire ta matrice , (c'est la matrice de la projection vectorielle orthogonale de R3 sur le plan vectoriel X+Y+Z=0 dans la base canonique
exemple: Ton premier vecteur colonne p(e1)=(1-(1/3)<e1,n>) e1 -(1/3)<e1,n> e2 -(1/3)<e1,n>e3

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 17:21

Je suis désolée mais je ne comrends pas..

Je pensais pourtant que
p(e1)=(1,0) (c'est la valeur qui m'est donnée)
et que donc a la fin la première colonne de ma matrice devait être (1,0).
Je crois en tout cas que la matrice au final est de dimension 2*3 ce qui n'est pas le cas avec cette formule...

merci!

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 17:30

Tu as la matrice sur la page wikipedia que tu as mise en lien.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 17:55

Oui,

En fait je ne comprend pas (en lisant l'article que j'ai mis en ligne) comment on passe de
p(e1)=e1' à p(e2)=e2', de plus ils utilisent plutot une technique en montrant ce qu'ils calculent sur le graphique et j'aurais voulu savoir s'il y avait une formule plus "claire" (sans le k1, k2, cos(a)) et finalement je me demandais pourquois est-ce que la formule de la projection que j'ai donnée au début ne fonctionne pas du tout pour ce problème.


Au final je vois bien que si je dessine un triangle equilateral dans un cercle et que je mesure les distance entre chaque points cela me donne la matrice. mais je ne suis pas sure que ce soit ce qu'on me demande de faire (ou si??)...

merci

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 28-06-13 à 18:08

ou plutot la distance entre les axes et les points..
Sanchant que le point (0,0) est au centre du cercle et que l'un des vecteur est (1,0)...

Posté par
DOMOREAMatrix projection orthogonale de R3 dans R2 29-06-13 à 09:30

Bonjour,
Pourquoi dis-tu que ta formule ne "fonctionne"pas alors que je t'ai dis qu'elle est tout à fait exacte dans je contexte que je t'ai précisé/
Ta projection orthogonale p va se représenter dans la base canonique  e1(1,0, 0),e2(0,1,0), e3(0,0,1) par une matrice M(3x3) dont le rang sera 2 (rang(p) = dim (Im p)
as-tu compris ce que j'ai écris pour le premier vecteur colonne de la matrice M?
Pour être plus concret : Ton triangle ABC a pour centre de gravité le point G, la projection de e1 sur le plan vectoriel associé au plan affine ABC est représenté par le vecteur
\vec{GA}   avec   \vec{OA}=\vec{e_1}
TU as \vec{GA}=\vec{OA}-\vec{OG}
\vec{OG}=<\vec{e_1},\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}>.\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}
AINSI \vec{GA}=\vec{e_1}-<\vec{e_1},\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}>.\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}
=\vec{e_1}-<\vec{e_1},{\vec{n}}}>.\frac{\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3}}{3}
Tu distribues \frac{<\vec{e_1},{\vec{n}}}>}{3} sur la somme des 3 vecteurs\vec{e_1}+\vec{e_2}+\vec{e_3} et tu obtiens p(e1) en fonction de e1,e2,e3 donc la première colonne de ta matrice.
Peut-être ne sais-tu pas calculer <\vec{e_1},{\vec{n}>?
Dans une base orthonormale avec u(x,y,z) et v(x',y',z') <\vec{u},\vec{v}>=xx'+yy'+zz'

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 29-06-13 à 11:56

Ta formule est exacte, mais elle ne sert pas à grand chose si tu cherches une matrice d'une application de \R^3 dans \R^2. Le problème est de préciser une base du plan d'arrivée, qui est le plan x+y+z=0.
Dans la page que tu as mise en lien, une base (\vec{i},\vec{i}) orthonormée est choisie, avec
                 \vec{i}= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 \end{pmatrix}\qquad  \vec{j}= \begin{pmatrix}  - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ - \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \sqrt{\frac{2}{3}}  \end{pmatrix}
La matrice de la projection avec la base canonique au départ et la base  (\vec{i},\vec{i}) à l'arrivée est bien celle donnée sur la feuille. Tu vois pourquoi ?

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 29-06-13 à 13:05

merci pour vos réponses.

@GaBuZoMeu:

Je vois que si mon vecteur e1 est projeté sur le vecteur (1,0) (donc pour moi cela ferais un angle de 0 avec le vecteur i et que quand je dessine les 3 vecteur ayant un angles égale entre eux pour obtenir mon triangle (un angle de 2pi/3) je me retrouve avec:

p(1,0,0)=(1,0)
p(0,1,0)=(cos(2pi/3), sin(2pi/3)) = (-1/2,sqrt(3)/2)
p(0,0,1)=(cos(-2pi/3),sin(-2pi/3)) = (-1/2, -sqrt(3)/2)

donc ma matrice M=((1,-1/2,-1/2);(0,sqrt(3)/2,-sqrt(3)/2))

Mais pour trouver ça je n'ai ni utiliser la notion d'orthogonaité, ni le vecteur normal (1,1,1) je n'ai rien utilisé du tout et c'est cela qui me dérange. ma question n'est pas quelle est la réponse mais comment y arriver avec les notions du cours (projection, orthogonalité...) et pas juste en calculant des sin et des cos ou alors il n'y a pas d'autre moyen.. je ne sais pas... peut-être que je ne comprends tout simplement pas ce que vous voulez me dire...

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 30-06-13 à 17:09

Ce que tu écris ne va pas.

Je t'ai indiqué une base (\vec{i}, \vec{j}) du plan sur lequel on projette. Pour avoir la matrice de la projection p dans les bases (\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) au départ et (\vec{i}, \vec{j}) à l'arrivée, il suffit d'écrire p(\vec{e_k})=\lambda_k\,\vec{i} + \mu_k\,\vec{j} pour k=1,2,3.
Puisque p est une projection orthogonale sur un sous-espace pour lequel on a une base orthonormée (\vec{i}, \vec{j}), le produit scalaire peut aider !

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 13:44

Bonjour,

J ai choisi comme vecteur i et j:

i = (1, -1/2, -1/2)
j = (0, sqrt(3)/2, -sqrt(3)/2)

pour qu'ensuite je puisse avoir:

p(e1) = (1,0) avec lambda1 = 1, mu1 = 1

et finalement tous mes lambda(k) mu(k) seront egal à 1 ce qui me donne la matrice que j ai donnée en haut.

je ne comprends pas pourquoi cela ne pourrait pas être juste..

merci

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 13:58

(On ne me demande pas que la base soit normée dans mon exercices)

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 14:30

Tu remarqueras que ton choix ne fait pas une base orthonormée du plan x+y+z=0.
Ensuite, p(e_1) n'est sûrement pas égal à ton i. Comment est-ce que le projeté orthogonal d'un vecteur unitaire pourrait avoir une norme égale à \sqrt{3/2} ?
Voyons, ressaisis-toi et essaie sérieusement de comprendre ce que j'ai écrit.

Vérifie que mon choix (en fait celui de la page wikipedia) donne bien, lui une base orthonormée du plan x+y+z=0. Et si (\vec{i},\vec{j}) est une base orthonormée d'un plan P, tu dois savoir calculer le projeté orthogonal d'un vecteur \vec{v} sur le plan P, comme combinaison linéaire de \vec{i} et \vec{j}, non ?

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 15:18

désolée, je ne comprends vraiment pas...

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 15:26

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?
"Vérifier que le (\vec{i},\vec{j}) que j'ai explicité forme une base orthonormale du plan d'équation x+y+z=0". Tu ne comprends pas ce que ça veut dire ?
"Si (\vec{i},\vec{j}) est une base orthonormée d'un plan P, calculer le projeté orthogonal d'un vecteur \vec{v} sur le plan P, comme combinaison linéaire de \vec{i} et \vec{j}", tu ne comprends pas ce que ça veut dire ? Tu ne sais pas faire ?
Répéter "je ne comprends pas" ne fait pas vraiment avancer les choses.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 16:15

d'accord.

Donc est ce que c'est juste de dire que:

p(ek) = lamda(k)*i+ mu(k)*j

signifie que lamda(k) = <e1,i> et mu(k) = <e1,j>?

mais si c'est le cas alors le seul vecteur i que je peux choisir qui soit normé dans mon cas est (1,0,0) pour que
p(e1) = <(1,0,0)*(1,0,0)>*(1,0,0)+ <(1,0,0),j>*j = (1,0)
et ca ne fonctionne pas comme i n'est pas un vecteur de base de x+y+z=0..?

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 16:18

Si tu as un énoncé, pourrais-tu le mettre exactement et in extenso ?
Ce que tu as écris ne peut pas être un vrai énoncé d'exercice.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 16:28

Je ne l'ai malheureusement pas en français, le voici en anglais:

Find the matrix of the projection pi: R3 -> R2 such that the image of the standard bases
of R3 forms an equilateral triangle and pi(el) points in the direction of the x-axis.

C'est tiré du livre "Algebra" de Michael Artin: Chapitre 7 exercice 3.6

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 16:30

(pi(e1) points in the direction of the x-axis)..

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 16:48

En traduisant "\pi(e_1) points in the direction of the x-axis" par "\pi(e_1)=(1,0)", tu fais un contresens !

On est bien d'accord qu'il s'agit de la projection orthogonale sur le plan P orthogonal au vecteur (1,1,1).

Tu peux calculer \pi(e_1) (avec ta formule), puis le normaliser pour avoir le premier vecteur d'une base orthonormale du plan P (de façon à ce que "\pi(e_1) points in the direction of the x-axis").
Une indication : tu vas trouver le vecteur de coordonnées (\sqrt{2/3}, -1/\sqrt{6},-1/\sqrt{6}).
Ensuite, tu complètes pour avoir une b.o.n. de P, et tu travailles avec cette base de P pour avoir la matrice de la projection orthogonale de \R^3 sur P.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 17:33

Merci un milliard de fois je me disais que je n'arriverai jamais a comprendre et je mélangeais tout pour arriver a ce pi(e1)=(1,0)...
Je suis vraiment désolée d'avoir été si butée et absolument pas coopérante..

Alors bon. Maintenant j ai:

pi(e1) = (sqrt(2/3), -1/sqrt(6), -1/sqrt(6)) (mon vecteur i)

Ensuite j'ai pris comme vecteur orthogonal a celui-ci et a (1,1,1) le vecteur (0, 1, -1)
que j'ai normé, ca me donne: (0, -1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) (mon vecteur j)

Finalement la matrice sera: (<e1,i>,<e2,i>,<e3,i>;<e1,j>,<e2,j>,<e3,j>) (avec ; signifiant nouvelle ligne)
donc: (sqrt(2/3), -1/sqrt(6),-1/sqrt(6); 0, -1/sqrt(2), 1/sqrt(2))

J'aurais une toute dernière question qui finalement est la question de base et la cause de tout mes problème:
Comment se fait-il que lorsque je calcul pi(e1) avec ma formule j'ai un vecteur base de mon plan p ça je comprend, mais qui pointe en direction de l'axe des x...
Je n'ai toujours pas compris du coup ce pointe en direction de l'axe des x....

merci!

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 19:04

C'est l'axe des x du plan P sur lequel on projette. Autrement dit, on choisit pour P une base orthonormale dont le premier vecteur a même direction et même sens que \pi(e_1).

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 01-07-13 à 19:10

wahoo génial.

Bon alors si ce que j'ai écrit dans mon dernier post joue alors j'ai compris!

Merci beaucoup!

Posté par
GaBuZoMeure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 02-07-13 à 00:40

Avec plaisir.

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 02-07-13 à 15:25

(Je viens de lire la FAQ mais je ne trouve pas: Peut-on marquer un sujet comme résolu? Merci!)

Posté par
gui_toure : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 02-07-13 à 15:28

(Non, il n'y a que la couleur du petit dossier dans la liste des fils de discussion qui passe alternativement de orange à bleu)

Posté par
sara21re : Matrix projection orthogonale de R3 dans R2 02-07-13 à 17:06

(D'accord merci!)


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