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mauvaise compréhension d'un énoncé

Posté par
letonio 21-05-06 à 15:43

bonjour à tous,
Je ne comprends pas bien l'énoncé de cet exo.

En intégrant par partie \int_0^{x} 1/(t^2+1) dt , calculer
\int_0^{x} (1/(t^2+1))^2 dt

Qu'est-ce que je dois comprendre? Je suppose que je ne dois pas intégrer
\int_0^{x} 1/(t^2+1) dt par partie vu que je connais déjà une primitive...

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 15:59

(Re)bonjour letonio

En fait, la première intégrale, tu peux l'exprimer de 2 manière différentes : soit en la calculant explicitement, soit en l'exprimant en fonction de la deuxième (par une intégration par parties)
Ainsi, en commençant par la seconde méthode, tu pourras exprimer la seconde intégrale en fonction de la première.

Kaiser

Posté par neo (invité)re : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 15:59

En fait, je crois que tu peux calculer la deuxième intégrale avec une relation de récurrence que tu établiras entre les deux intégrales grâce à une IPP.

Neo

Posté par neo (invité)re : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 15:59

désolé

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:01

y'a pas de mal !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:21

Je crois avoir trouvé

\int_0^{x} 1/(1+t^2)dt= [t/(1+t^2)]-\int_0^{x} -2t/(1+t^2)^2 dt
= [t/(1+t^2)]- [1/(1+t^2)]  entre 0 et x

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:24

Tu t'es trompé : il manque un carré dans l'intégrale (en faisant l'IPP).

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:24

= x/(1+x^2) - 1/(1+x^2)+1

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:25

Ah oui mince

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:25

Je suppose qu'on refait une intégration par partie qui ne pose plus de problème...

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:26

Non, il suffit d'utiliser l'astuce \Large{t^{2}=(t^{2}+1)-1} !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:27

Bon je me suis sûrement planté vu que j'ai tendance à aller un peu trop vite, mais je trouve que ça fait arctan x ... Je vérifie.

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:29

Oups c'est assez normal

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:29

En bref j'ai tourné en rond quoi :/

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:34

Pas vraiment !

\Large{\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=[\frac{t}{1+t^{2}}]_{0}^{x}+2\bigint_{0}^{x}\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{x}{1+x^{2}}+2\bigint_{0}^{x}\frac{(t^{2}+1)-1}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{x}{1+x^{2}}+2\(\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}-\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}\)}

Kaiser

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:35

Bon il est vraiment temps que j'essaie de comprendre le but de l'exo

En utilisant ton astuce, j'ai trouvé une relation :
\int_0^{x} 1/(1+t^2)dt= x/(1+x^2)+ 2\int_0^{x} 1/(1+t^2)- 2\int_0^{x} 1/(1+t^2)^2

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:36

Je l'avais trouvé avant

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:38

Mais je n'en doute pas !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:39

Ok d'où le résultat recherché facile à trouver...

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:40

Eh oui !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:40

d'où le résultat recherché facile à trouver...
Je veux dire facile à extraire de la relation qu'on a trouvée.

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:45

Je dois en déduire la limite de cette intégrale quand x-> +oo

Et je trouve que ça tend vers pi/4

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 16:49

Je trouve également ce résultat !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:23

Au secours!
J'essaie de faire le 2) qui est je suppose une application de cette méthode, mais je ne m'en tire pas.
2) Calculer \int_x^{1/e} 1/t (ln(1/t)^{-2} dt
et je dois ensuite en déduire la limite quand x tend vers 0.

J'ai essayé de faire une intégration par partie à partir de
\int_x^{1/e} 1/t (ln(1/t)^{-1} dt= - \int_x^{1/e} 1/t. 1/ln(t) dt
à partir de
\int_x^{1/e}(ln(1/t)^{-1} dt
Je ne sais pas comment commencer. Pourrais-tu m'indiquer par où commencer? Et si je dois effectivement m'inspirer du premier exercice?

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:32

Tu as oublié une parenthèse à chaque fois !

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:42

La première parenthèse était de trop...

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:45

si je comprends bien, c'est \Large{\frac{1}{tln(\frac{1}{t})^{2}}} ?

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:47

oui c'est ça

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:48

désolé j'ai du mal avec le latex

Posté par
kaiser Moderateurre : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 17:51

D'abord, tu peux remarquer que \Large{ln(\frac{1}{t})^{2}=ln(t)^{2}}.
Ensuite, dans l'intégrale, reconnais (presque) la dérivée d'une composée.

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 18:37

ok c'est vu... Je pouvais chercher longtemps...

Je trouve que la limite de mon intégrale quand x tend vers 0 est 1

Posté par
letoniore : mauvaise compréhension d'un énoncé 21-05-06 à 18:38

J'essayais de m'inspirer du premier exercice :-/


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