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Niveau Maths sup
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Max

Posté par
Brahim11
12-05-20 à 20:15

Salut,
S'il vous plait pouvez vous m'aider à calculer : max1pn-1 (n²-p.n+p²)
J'ai essayer d'ecadrer cette quantité, j'ai trouvé que 2n-1n²-p.n+p²n²-1 Mais j'arrive pas a continuer ..
Merci beaucoup

Posté par
Brahim11
re : Max 12-05-20 à 20:17

Excusez moi j'ai mal écrit la formule :
max_{1\leq p\leq n-1}(n²-pn+p²)

Posté par
carpediem
re : Max 12-05-20 à 20:22

salut

n^2 - np + p^2 = (n + p)^2 - 3np = (n - p)^2 + np = \left( n - \dfrac p 2 \right)^2 + \dfrac 3 4 p^2 = \left( p - \dfrac n 2 \right)^2 + \dfrac 3 4 n^2

y en a bien une qui devrait permettre d'y arriver ...

Posté par
Brahim11
re : Max 12-05-20 à 20:43

Merci beaucoup pour la réponse
Je n'ai pas compris l'objectif pourquoi vous avez écrit ces formules, mais j'ai essayer de majorer de les majorer, finallement je ne trouve pas l vraimenet quelque chose utile

J'avais l'idée d'étudier la fonction mais je sais pas si ca va marcher avec une suite !

Pouver vous me donner encore une indication, pourquoi ces formules ?

Merci infiniment

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 21:03

salut

l'enoncé consiste bien à trouver le maximum pour  n²-p.n+p²  sachant que 1pn-1   ?

Posté par
Brahim11
re : Max 12-05-20 à 21:11

Salut
Oui je viens de vérifier !

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 21:16

en jouant sur les encadrements

1 pn-1
-n -np-n²+n
ou
nn²-npn²-n
on a aussi
1(n-1)²

en sommant
(n-1)n²-np+p² n²-n+(n-1)²

c'est ce qu'il te fallait ?  sauf si c'est pas ca ...ou alors j'ai mal compris

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 21:18

lire  (n+1)n²-np+p² n²-n+(n-1)²

Posté par
Brahim11
re : Max 12-05-20 à 21:19

C'est exactement ce que j'ai essayé de faire
Mais je dois déterminer le max et pas seulement majorer

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 21:32

donc il s'agirait de trouver les extrema de  f(n,p) =n²-np+p²    avec la contrainte  
1pn-1

Posté par
Brahim11
re : Max 12-05-20 à 22:02

Oui exactement !
C'est ce que je n'ai pas arriver a faire !
Je veit juste une indication sur l'étape suivante, après avoir écrit  :

carpediem @ 12-05-2020 à 20:22


n^2 - np + p^2 = (n + p)^2 - 3np = (n - p)^2 + np = \left( n - \dfrac p 2 \right)^2 + \dfrac 3 4 p^2 = \left( p - \dfrac n 2 \right)^2 + \dfrac 3 4 n^2

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 22:40

si on fixe n  et que p varie entre 1 et n-1  on se retrouve avec  f(p)= p²-np+n²
quand p = 1   f(1)=n²-n+1    et quand  p =n-1  f(n-1)=(n-1)²-n(n-1)+n² = n²-n+1
la max est atteint pour n²-n+1    ( f est une parabole avec un minimum en p = E(n/2))

Posté par
flight
re : Max 12-05-20 à 22:41

..sinon je ne vois pas autre chose ...

Posté par
carpediem
re : Max 13-05-20 à 07:42

oui qu'on passe par la forme canonique (mes formules et surtout la dernière) ou un encadrement on a une fonction trinome en p avec un minimum donc son maximum a lieu lorsque p = 1 ou p = n - 1...

il suffit donc de comparer f(1) et f(n - 1) ...

Posté par
Brahim11
re : Max 13-05-20 à 12:25

D'accord  maintenant j'ai compris le sens..
Merci beaucoup carpediem et flight

Posté par
carpediem
re : Max 13-05-20 à 12:31

de rien



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