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Maximum global
Bonjour,
Je bloque sur l'exercice suivant :
Soient a0, a1,...,an et b1, b2,...,bn deux nombres réels, soit f l'application définie sur 
par :
Pour tout x
, f(x)=
akcos(kx)+bksin(kx)
La première somme avec k allant de 0 à n, l'autre avec k allant de 1 à n (je ne sais pas comment le mettre en forme sur le site) 
Je me doute qu'il faut utiliser le théorème sur l'image d'un segment, mais je bloque totalement sur la rédaction... Merci pour votre éclairage
Tu avais déjà donné la réponse. Sur un segment une fonction continue admet un maximum global (un minimum aussi). Le calculer est une autre histoire!
salut
1/ la fonction f est périodique => ...?
2/ une fonction continue sur un intervalle fermé borné (compact) atteint ses bornes
...
Salut carpediem,
1/ La fonction est 2pi périodique, continue par morceaux, donc bornée.
2/ La fonction est continue sur [0;2pi]... Je ne vois pas la conclusion ?
Donc :
f est 2pi-périodique, continue par morceaux (en tant que somme de fonctions continue par morceaux), donc bornée et atteint ses bornes sur l'intervalle [0;2pi] où elle est continue.
Donc, le maximum gobal de f serait f(2pi) ? Je ne vois pas l'intérât de montrer qu'elle est bornée..
pourquoi le maximum aurait-il lieu en 2pi ?
on sait que f atteint sa borne sup donc possède un maximum ... mais comme le dit Camélia savoir où et combien ... c'est une autre histoire ...
quelle valeur absolue ?
montrer qu'elle est bornée permet de conclure que f est majorée puis que f admet un maximum ...
Bonjour Adr13
Salut carpediem
et coucou à camélia
Question stupide à 1h du mat(h) :
Les deux familles (ai) et (bi) sont finies ? ou sont-ce des suites ?
Parce que dans le premier cas, ce que semble suggérer l'énoncé, il suffit d'écrire, pour tout x réel
ce qui est une majoration uniforme de f sur , indépendante de toute notion de continuité, périodicité ou que sais-je !
Si ce sont des suites, c'est une autre affaire. Auquel cas il faut plus d'hypothèse pour arriver à la conclusion !
Amicalement,
Salut carpediem,
1/ La fonction est 2pi périodique, continue par morceaux, donc bornée.
2/ La fonction est continue sur [0;2pi]... Je ne vois pas la conclusion ?
En fait, la fonction f est continue sur
(et même C
)
Elle est 2
périodique, donc il suffit de l'étudier sur [0, 2].
Par suite la fonction |f| qui, elle, n'est plus que continue, est 2
-périodique sur ce même intervalle.
On sait qu'une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée et atteint ses borne, donc |f| atteint un maximum sur [0, 2
] et il se trouve que ce maximum local est aussi un maximum global en vertu de la périodicité de la fonction.
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