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Médianes et centre de gravité

Posté par
mimidu16
03-04-19 à 14:36

Bonjour,
Je dois répondre à deux questions pour demain à partir de la figure ci-dessous, mais, même après avoir cherché dans mon manuel et mes cours, je suis complètement bloqué. J'espère que vous pourrez m'aider, et donc voilà les deux questions :
1) Démontrer que G est le centre de gravité de AHA'
2) En déduire que les points O, H et G sont alignés
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter,
Cordialement,

Médianes et centre de gravité

Posté par
hekla
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 14:46

Bonjour

Quelles sont les hypothèses ?
si uniquement dessin  tracez les médianes

Posté par
mimidu16
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 14:47

Je sais juste que c'est le point d'intersection des médianes mais le problème c'est qu'il ne faut pas tracer sur la figure.

Posté par
hekla
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 15:10

Qu'a-t-on le droit de faire ?

Comment les points ont-ils été définis ?

Posté par
mimidu16
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 15:14

Il faut démontrer seulement à partir de propriétés.
ABC est un triangle. O est le centre du cercle circonscrit à ce triangle, H l'orthocentre de ce triangle et G le centre de gravité de ce triangle. I est le milieu de [BC] et A' le symétrique de A par rapport à O

Posté par
hekla
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 15:47

I  est le milieu de [HA'] puisque A' est le symétrique de H par rapport à I

[AI] est une médiane dans le triangle AHA'    donc le centre de gravité de ce triangle
appartient à (AI ) Il est situé au 2/3 de [AI]  Puisque G répond à cela dans le triangle ABC,
il est aussi le centre de gravité  du triangle AHA'

Que peut-on alors dire de O ?

Posté par
mimidu16
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 15:50

Il est aligné avec G et H c'est bien ça ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:04

Bonjour,

Citation :
I est le milieu de [HA'] puisque A' est le symétrique de H par rapport à I

on n'en sait rien !!
l'énoncé définit A' comme symétrique de A par rapport à O !!

il faut donc le démontrer

ensuite oui c'est terminé car G au 2/3 de la médiane AI de AHA' termine la question 1

question 2 : oui, mais il faut le justifier explicitement.
(en déduire ça veut dire à partir de "G centre de gravité de AHA'" )

Posté par
hekla
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:07

indirectement   c'est bien la conclusion que l'on veut

G appartient à la médiane issue de H dans le triangle AHA'.  Soit J le milieu  de [AA']
il faut donc montrer que [AA'] est un diamètre   ainsi on pourra dire que O= J

que peut-on dire de CA'BH ?

de (A'B) et (CH) ?  du triangle ABA' ?

Posté par
hekla
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:12

Bonjour

erreur de lecture  

Par conséquent les triangles AA'C et AA' B sont rectangles en C et B

le quadrilatère CA'BH  est un parallélogramme donc I milieu de [HA']

Posté par
mathafou Moderateur
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:21

?????
c'est tout à l'envers

on part de O milieu du diamètre AA' qui est le point de départ de l'énoncé.
on n'a pas à montrer que le point symétrique d'un point d'un cercle par rapport à son centre est diamétralement opposé !!! c'est la définition même de diamétralement opposé

on en déduit de par la définition de H et des hauteurs et la propriété des triangles inscrits dans un demi cercle, la nature de CHBA'
et par conséquent que I (défini comme milieu de BC) est aussi le milieu de AA'

y a pas de complications avec un point J qui serait O défini autrement ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:22

OK, messages croisés, tu as vu l'erreur de lecture entre temps

Posté par
mathafou Moderateur
re : Médianes et centre de gravité 03-04-19 à 16:24

et moi c'est erreur de frappe : milieu de HA'



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