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Niveau autre
Mesure de Dirac et probabilité
Posté par mininina
Bonsoir,
On a vu l'esemple suivant en cours et je n'ai pas tout bien compris:
on a
X1...Xn un echantillon iid ---> B(a)
"omega"= {0,1}^n et la tribu M est celle engendree par les parties de "omega"
on prend la mesure m=("dirac"0+"dirac"1) "tensoriel n"
on etudie les modeles domines
on veut calculer P( a,x1,...,xn)
pour tout A dans M on a
P((X1,...,Xn) ds A)= integrale sur A [ a^(somme des xi) (1-a)^(n-somme des xi) d("dirac"0+"dirac"1)(x1) ..... d("dirac"0+"dirac"1)(x2)
ensuite on dit que c'est egal à somme (pour (x1,...,xn) dans A) des a^(somme des xi) (1-a)^(n-somme des xi)
je ne comprend pas ce que c'est que ce produite tensoriel et comment on passe de l'intégrale à la somme et comment se comporte la mesure de Dirac en proba
Quelqu'un peut m'aider?
Bonsoir,
ton énoncé n'est pas clair du tout!
Qu'est-ce que a?D'où viennent les puissances?On dirait du Bernouilli.
Citation :
X1...Xn un echantillon iid
-> Qu'entends-tu par là?
X1...Xn un echantillon iid
Ensuite sauf erreur, si un univers est réduit à {0;1}, (dirac en 0+dirac en 1) vaut tout le temps 1, donc j'ai du mal à saisir l'intérêt de cette mesure!
L'echantillon qu'on considère est iid (independants identiquement distribués ) selon une loi de Bernouilli de paramètre a
Donc les puissances viennent de Bernoulli
apres concernant la mesure je n'ai vraiment pas compris pourquoi on prend ça puisque effectivement à priori ça vaut toujours 1
Merci
Ah pardon je comprends mieux dans ce cas!
Encore deux questions, je ne comprends aucune des deux phrases:
Citation :
on etudie les modeles domines
on veut calculer P( a,x1,...,xn)
on etudie les modeles domines
on veut calculer P( a,x1,...,xn)
*a est bien une probabilité (celle associée à la loi de Bernouilli)?
Dans ce cas que fait-il là?!
*Qu'est-ce que les modèles dominés?
a est le paramètre de la loi de Bernoulli
un modele statistique dominé est un modèle où on a
("omega", M P"indice a", a un parametre ) est dominé si il existe une mesure "sigma" finie m td pour tout a dans l'espace parametrique on a
dP"indice a"( petit omega ) = P(a, "petit omega") dm(petit omega)
Non mais le a qui apparaît dans P( a,x1,...,xn), désigne-t-il le paramètre de la loi de Bernouilli ou autre chose?
Je ne comprends pas cette notation P( a,x1,...,xn)...
oui il représente le a de Bernouilli
en fait on cherche a estimer ce a par diffenrents methodes d'estimations
Bon ce que je comprends de ton égalité c'est qu'on applique le théorème de transfert dans un cas discret plus ou moins trivial:
P admet une densité par rapport à la mesure de comptage comme on peut s'en assurer en calculant
.
Par indépendance des variables, cela se calcule par un produit.
De plus chaque fois qu'un des xi vaut 1, un facteur a apparaît, et chaque fois qu'un des xi vaut 0, un facteur (1-a) apparaît.
a sera donc élevé à la puissance du nombre de termes xi qui valent 1, et cette puissance est égale à .
En résumé, on a
Maintenant dirac en 0+dirac en 1 c'est juste pour dire qu'on compte chacun des xi une fois, qu'il vaille 1 ou 0.
Autrement dit, dirac en 0+dirac en 1 coïncide avec la mesure du dénombrement sur l'ensemble fini {0;1}.
Mais comme il y a n variables, il faut tensorialiser cette mesure n fois de suite pour obtenir une mesure m cohérente sur l'espace-produit .
Bon donc P admet la densité par rapport à la mesure
On applique le théorème de transfert:
en notant la somme des mesures de dirac sur la i ème composante de
Il n'y a plus qu'à fubiniser le tout et à constater que chacune des n intégrales obtenues est intégrée par rapport à la mesure du dénombrement.
C'est donc bien à une somme que se réduit l'intégrale de départ, et même à une somme finie:
celle qui porte sur l'ensemble des n-uplets d'éléments de
On trouve donc bien au final:
Cela dit, je n'ai rien compris d'autre!
Tigweg