Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Mesure de Fonction ^^
Salut a vous, me revoila pour certains.
Voici le pti pbl auquel j ai pas mal réfléchie mais en vain.
Je demande votre aide une fois de plus!!
Enoncé :
Soit une suite de fonction de
dans
telles que
Soit . On considere l'ensemble
Montrer que est de mesure nulle. En déduire que la suite
converge presque partout vers 0.
Mes Impressions:
1)Déja j ai cherché a quoi pouvais servir mais je n ai trouver nulle part cette formule dans mon cours ou dans des exo.Je voudrais savoir si elle enonce certaine propriété sur la suite de fonction.
2)Je ne vois pas vraiment comment améliorer l' écriture de .
Merci.
Bonsoir suistrop
Tout d'abord, remarque que est representé par une intersection décroissante, donc calculer sa mesure est assez simple si on se souvient d'un certain résultat.
Kaiser
Soit (A_i) une suite de B(tribu)
Si la suite des A_i est décroissante et si les A_i sont de mesure finie alors :
= inf
Donc je dois Montrer que :
(i)A_i est un borélien
(ii)les A_i sont de mesure finie.
Ensuite je calcule la mesure de inf mais je prend quel mesure ici???
quel est le plus simple a utilise inf ou lim apres???
Ici, la mesure qui intervient est la mesure de Lebesgue.
Sinon, le fait que ce sont des boréliens est assuré par la mesurabilité des (tu ne l'as pas précisé mais je pense que c'est vrai), mais bon, il suffit de l'écrire (images réciproques de boréliens, intersection dénombrable, etc ...)
Pour le calcul de la mesure, je réfléchis encore.
Kaiser
si quelqu un a d autre piste....
peut etre considéré comme la limite sup des
avec
ensemble des
je crois.
sinon je ne vois tjs pas a quoi sert la somme des intégrale inférieur a l infini
Merci
Bonjour suistrop
La condition sur la somme des intégrales qui est fini implique tout simplement que les sont intégrables.
(Sinon, c'est précisé que c'est vrai pour tout n ?)
Dans ce cas, cela permet de montrer que les sont de mesure finie.
Kaiser
l'énoncé est tel quel.
je ne vois pas l interet que les soit intégrables :/
sinon je ne vois pas vraiment ce que represente les
Ca representerait l'ensemble des x tel que ma fonction est plus petit que 1/n.
je suis un peu perdu a vrai dire.
Je crois qu'il manque quelque chose.
Imagine que pour tout k, .
Cette suite vérifie bien les hypothèses de l'énoncé et pourtant elle ne satisfait pas les conclusions que l'on doit en tirer.
(En particulier, elle ne converge pas presque partout vers la fonction nulle).
Chercher l'erreur.
Kaiser
Notons .
Pour un entier et pour
, notons
un entier plus grand que
tel que
.
On a d'où nécessairement
.
Cela reste à vérifier car je ne suis pas en forme aujourd'hui.
... petite correction : l'avant-dernier "terme" de la suite d'inégalités, il faut lire somme sur i et non sur k.
Il y a un truc qui m'embête car pour dire que il faudrait que
soit strictement croissant en
. Qu'en pesnes-tu ?
D'abord on a besoin de définir l'entier tel que
dépendant mesurablement de
. Cela est aisé, le choix le plus naturel est
. Ah oui au fait avant de faire ça il faut supposer que la mesure de
n'est pas nulle, ainsi il en est de même des
que j'ai définis tout à l'heure donc en particulier ils sont non vides et ces
existe bien.
Ensuite comme je le disais il faudrait que les soient strictement croissants en
. Ce n'est pas forcément le cas mais il est facile de voir que
quand
et ainsi on peut en extraire une sous-suite strictement croissante.
Pour être au top de la rigueur, il reste à démontrer la mesurabilité de . On a la mesurabilité de
. La mesurabilité de
implique je pense la mesurabilité de la fonction
. Cela permettrait de conclure.
Non non pas trop dur. En fait oublie toutes mes histoires de mesurabilité, la seule chose que j'avais omise c'est d'extraitre une sous-suite strictement croissante, pour les mesurabilités ça ne sert à rien.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac