Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Mesure de Lebesgue

Posté par
wuksey 14-12-18 à 22:30

Bonjour,

Soit A = {(x,y} x; |y| - (|x| +1)^(-2) 0}

Montrer que A est un ensemble borel mesurable.

Je pose h(x) = |y| - (|x| +1)^(-2), et on a que h(x) est continue car  |y| et (|x| +1)^(-2) sont continues sur

Par conséquent A = h^(-1)(-), h est continue donc mesurable et - appartient à la tribu des boréliens donc A est borel mesurable

est-ce correct ?

Calculer la mesure de l'ensemble A par rapport à la mesure de lebesgue 2 sur x

là j'en ai aucune idée...

Merci pour votre aide.

Posté par
jsvdbre : Mesure de Lebesgue 14-12-18 à 22:42

Bonjour wuksey.

Tu remarques tout simplement que si tu poses g(x) = \frac{1}{(|x|+1)^2}, l'ensemble A est \{(x;y)~/~-g(x) \leq y \leq g(x)\}

Posté par
wukseyre : Mesure de Lebesgue 14-12-18 à 23:04

Merci pour ta réponse,

J'ai du mal à visualiser les choses avec R² ...

Il faudrait donc calculer l'intégrale double [-(g(x)); g(x)] dydx ?

Posté par
wukseyre : Mesure de Lebesgue 14-12-18 à 23:11

Et donc ça ferait :

[-(g(x)); g(x)] dydx = 2 g(x) dx = 2- 1/(1-x)^² dx  + 2 + 1/(x+1)^² dx = 4 ?

Posté par
jsvdbre : Mesure de Lebesgue 14-12-18 à 23:12

Oui, mais là, les choses se simplifient : il s'agit d'une surface comprises entre les deux courbes y=g(x) et y = -g(x).

Donc la surface délimitée par 0 \leq y \leq g(x) vaut tout simplement \mathcal A = \int_{-\infty}^\infty g(x)dx.

Comme l'autre lui est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, l'aire que tu cherches est 2\mathcal A


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !