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Mesure de Lebesgue, singleton
Bonjour,
Soit une mesure sur la tribu des boréliens. Pour tout intervalle I de
et tout
, on note
. On suppose que la mesure
vérifie la propriété suivante :
pour tout intervalle I et tout réel x et
.
(a) Montrer que pour tout
.
(b) En déduire que pour tout
.
(c) Soit . Montrer que
.
(d) En déduire que est la mesure de Lebesgue.
J'ai fait pour la question (a) :
avec .
avec .
Mais du coup comment conclure ? Et comment aborder la question (b) ?
Merci d'avance...
Pour tout x 
et toute partie A de A + x est , par définition { a + x | a A .
Je remplace 
par m et écris m(t) au lieu de m({t}) .
Par ailleurs ( donc m) est certainement supposée être une mesure positive , non ?
En tout cas , pour tout x on a : {x} + x = {2x} et m(x) = m(2x) . Plus intéressant , pour tout (x,y) ² on a : {x + y} = {x} + y = {y} + x donc m(x + y) = m(x) = m(y) .
S'il existait un réel x tel que m(x) > 0 on aurait m(1/n) = m(x) pour tout n 
* et alors comme m([0 , 1]) 
n m(1/n) on aurait 1 +
, ce qui est largement contradictoire .
A toi pour la suite , ce n'esrtpas bien dur .
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