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mesure et intégration

Posté par
claired 04-10-07 à 01:00

Bonjour,
je me présente , je m'appelle Claire et je suis en 3eme année de licence à l'université de montréal suite a un programme d'échanges.
J'ai pris plusieurs matières dont une de master "mesure et integration"...(je ne pouvais pas prendre un niveau plus bas)
Le probleme , c'est que j'ai tous mes examens qui tombent la meme periode plus ...un devoir noté a rendre en mesure et intégration..
Si je poste ce message c'est parce que je sais que je n'arriverai pas a faire correctement ce devoir si l'on ne m'aide pas.
Si quelqu'un est pret à aider une "pauvre" étudiante submergée de travail , faites-moi signe

Merci.

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 04-10-07 à 01:09

Bonjour claired.

eh bien n'hésite pas à poster ton sujet, les gens de l'île sont assez friands de mesure et d'intégration en général!

En revanche, la majorité des membres étant français, il est une heure du matin et personnellement je nemesensplus d'attaque d'y répondre ce soir.
Mais si tu peux attendre jusqu'à demain...


Tigweg

Posté par
ottore : mesure et intégration 04-10-07 à 01:48

Allo,
envoie ton sujet.
Qui est ton prof de mesure ? Serait-ce le grand Paul Koosis ?

Posté par
clairedre : mesure et intégration 09-10-07 à 05:56

Bonjour,
ayant eu quelques problemes informatiques , je vous poste certaines questions de mon devoir de mesure et intégration maintenant.
Le devoir est sur le théorème de la convergence dominée.
Comme j'avais un peu de temps aujourd'hui, j'ai essayé de faire certaines questions de mon devoir mais je n'arrive pas à avancer....

je vous met ci-dessous les questions qui me posent problème:

Soient f et b des fonctions admettant des derivées continues.Montrer que:
\frac{\delta}{\delta~x}\int_a^{b(t)} f(x,t) dx = \int_a^{b(t)}\frac{\delta}{\delta~x}f(x,t)dx + b'(t)f(b(t),t).

Montrer que :

\frac{\delta}{\delta~x}\int_0^{+\infty}e^(-xy)\frac{sin(y)}{y}dy= (-1)\frac{1}{1+x^2}

Pour la première , j'avais pensé à résoudre la question en utilisant le théorème des acroissements finis mais mon probleme vient de l'intégrale définie de a à b(t)(b etant une fonstion ayant pour variable t)
Pour la deuxieme , j'ai essayé par plusieurs chemins sans trouver visiblement le bon...

Posté par
clairedre : mesure et intégration 09-10-07 à 19:14

Au fait , désolée de ne pas t'avoir répondu avant Tigwed : non, désolée de te decevoir ce n'est pas Paul Koosis mon professeur...

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 09-10-07 à 20:01

Salut claired

Il y a un problème d'énoncé dans la première question, les dérivations doivent se faire par rapport à t et non par rapport à x (en effet, une fois les intégrales calculées, x disparaît, donc la seule variable qui reste est t).

Fixons t une fois pour toutes.
Il faut examiner la limite lorsque h tend vers 0 du quotient:


6$\frac{\bigint_{a}^{b(t+h)}f(x,t+h)dx-\bigint_{a}^{b(t)}f(x,t)dx}{h}\;=\;\bigint_{a}^{b(t)}\frac{f(x,t+h)-f(x,t)}{h}dx+\bigint_{b(t)}^{b(t+h)}\frac{f(x,t+h)}h\;=\;I_1(h)+I_2(h).



Pour tout x, l'intégrande de I1 tend vers 4$\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}
lorsque h tend vers 0, et cette fonction est continue donc intégrable par rapport à x sur [0;b(t)].

4$\frac{\partial f}{\partial t} est continue sur le compact 4$[a;b(t)]\times[t-1;t+1], donc bornée par une constante M indépendante de x.

Pour tous 4$x\[0;b(t)] et 4$h\in[-1;1], h\neq 0


l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction 4$t->\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}

entraîne alors que l'intégrande de I1 est majoré par M, qui est une fonction d'intégrale finie (par rapport à x) sur le compact [0;b(t)].


Le théorème de convergence dominée s'applique donc, ce qui prouve que :



5$\lim_{h\to 0}I_1(h)=\bigint_{0}^{b(t)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}dx



On écrit ensuite que :




6$|I_2(h)\;-\;\bigint_{b(t)}^{b(t+h)}\frac{f(b(t),t+h)}hdx|\le \bigint_{b(t)}^{b(t+h)}|\frac {f(x,t+h)-f(b(t),t+h)}h|dx.



Le deuxième terme du premier membre (sous la valeur absolue) est la constante



6$\frac{b(t+h)-b(t)}h.f(b(t),t+h)


qui tend, par dérivabilité de b en t et par continuité de f en (b(t),t), vers 4$b'(t).f(b(t),t) lorsque h tend vers 0.


Il ne reste plus donc qu'à prouver que le deuxième membre tend vers 0 avec h.



Soit 4$\epsilon'>0.

Il existe 4$\epsilon>0 tel que 4$\epsilon(\epsilon+|b'(t)|)<\epsilon'

(c'est juste pour rédiger correctement à la fin,ça! )



f est continue sur le compact 4$[b(t);b(t)+1]\times[t-1;t+1] donc elle y est uniformément continue.


Ainsi:


6$\exist u>0, ||(x,s)-(x',s')||<u\Longrightarrow |f(x,s)-f(x',s')|<{\epsilon}

la norme étant choisie parmi toutes les normes de 4$\mathbb{R}^2 par exemple la norme euclidienne.

b est continue en t, donc:


6$\exist 0<v<1, |h|<v\Longrightarrow |b(t+h)-b(t)|<u




et en particulier puisque x est entre b(t) et b(t+h):


6$|h|<v\Longrightarrow |x-b(t)|<u\Longrightarrow ||(x,t+h)-b(t),t+h)||<u.


On en déduit alors que:



6$|h|<v\Longrightarrow |f(x,t+h)-f(b(t),t+h)|<{\epsilon}.



Alors:




6$\bigint_{b(t)}^{b(t+h)}|\frac {f(x,t+h)-f(b(t),t+h)}h|dx<{\epsilon}.|\frac{b(t+h)-b(t)}h|.


Par dérivabilité de b en t, il existe enfin 0


6$|h|<w\Longrightarrow |\frac{b(t+h)-b(t)}h|<\epsilon+|b'(t)|



soit:






6$|h|<w\Longrightarrow \bigint_{b(t)}^{b(t+h)}|\frac {f(x,t+h)-f(b(t),t+h)}h|dx<\epsilon(\epsilon+|b'(t)|)<\epsilon'.



Conclusion:le taux de variation initial tend bien vers ce qu'il faut!


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 09-10-07 à 20:10

J'aurais aussi dû préciser que ma constante M ne dépend pas non plus de h.

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 09-10-07 à 20:47

Pour la deuxième question, x est-il positif?
Je le supposerai, sans quoi les intégrales ne convergent pas!

De plus, se place-t-on dans la théorie des intégrales de Riemann ou de Lebesgue?

Avec Lebesgue c'est beaucoup plus simple, car la borne infinie ne pose pas de problème.

Appelons f(x,y) la fonction à intégrer.

Pour tout x non nul, elle est intégrable sur R+ car prolongeable par continuité au voisinage de y=0, et majorée en valeur absolue par \frac 1{xy^2}.

f est dérivable par rapport à x, ce pour tout y strictement positif fixé, de dérivée h(x,y)=-e^{-xy}sin(y).

Cette dérivée est intégrable par rapport à y sur R+ par un argument analogue au précédent, et ce pour tout x non nul.

Enfin, pour tout a>0 et pour tout x>a on a |h(x,y)|\le \frac 1{x^2y^2}\le \frac 1{a^2y^2}

qui est une fonction intégrable en y sur [1;+\infty (sur [0;1] on peut majorer par une constante).


Cela prouve que l'intégrale en y de f est dérivable en x sur tout intervalle de la forme [a;+\infty[, de dérivée -\bigint_{0}^{+\infty}e^{-xy}sin(y)dy.

Cela est donc vrai pour tout x>0.


Il reste à calculer cette dernière intégrale, ce qui doit marcher avec le théorème des résidus si on choisit un lacet approprié...mais l'Analyse Complexe n'est pas mon fort, je laisse cela à ceux qui voudront bien s'y pencher



Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 09-10-07 à 23:36

Tu t'en sors, Claired?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : mesure et intégration 10-10-07 à 16:55

Bonjour,
6$, je n'avais jamais osé !
https://www.ilemaths.net/forum-sujet-157405.html

Posté par
Tigweg Correcteurre : mesure et intégration 10-10-07 à 16:58

Salut Nicolas

J'avais essayé en 5$ mais ça me paraissait encore illisible


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