J'imagine que omega est une fonction positive ?

Pardon, mesurable

Sais-tu à quoi cela sert ?

Ca sert à définir de nouvelles mesures.
Par exemple, si tu obtiens une mesure de probabilité.

L'intéret n'est pas immédiat, mais parfois ca peut servir.
La dernière utilisation en date que j'ai vue, était que l'on pouvait appliquer le théorème de Jensen:

En prenant où P est le noyau de Poisson et m la mesure de Lebesgue sur le tore.
L'idée était que la phi mange juste f et non pas (Pf), et ca nous permettait d'obtenir un résultat plus précis.

Bref, il y'a des utilisations, mais ne cherche pas en maths, à toujours voir une utilisation concrète immédiate

Merci otto, ça à l'air très intéressant

Je viens de trouver une belle application de ca et de l'inégalité de Jensen justement, encore une fois.
Tu peux montrer que la norme de la convolution d'une fonction f de L^p(T) par une fonction g de L^1(T) est une fonction de L^p(T) et que tu as
||f*g||_p < ||f||_p ||g||_1

L'inégalité étant large.
(pose g/G comme étant ton w où G est l'intégrale de g sur T et applique le théorème de Hölder)
a+

J'ai oublié de te dire de prendre phi comme étant la fonction x->x^p, qui est clairement convexe pour p>=1.
phi étant la fonction convexe qui aparrait dans le théorème de Jensen.
a+

Essayons une démonstration du résultat:
f dans L^P(T), g dans L^1(T).
Soit sur R+.
Soit où G est la norme 1 de g.


En élevant à la puissance p et en utilisant l'inégalité de Jensen avec et l'inégalité de Minkowski, on trouve

Le théorème de Riesz permet de dire quele membre de droite est majoré par
où
De plus, est une mesure positive, et donc par construction.

On a alors

Mais en remarquant que et en intégrant des deux cotés par rapport à t, on trouve

et en prenant la racine p-ième et en remarquant que on trouve

qui est le résultat souhaité.

Je pense que c'est un très bel exemple d'utilisation des mesures pondérées et des théorèmes de Riesz, Hölder et Jensen.
a+

Pardon, ma mesure mu est le produit de |g| par la mesure de Lebesgue, et non g.

Eh bien, moi qui voulais des applications, je suis servi !

Merci otto

J'avoue cependant que je ne suis pas à l'aise avec mon tour de passe passe sur le théorème de Riesz.
Il faudrait peut être reprendre ca à tête reposée.
a+