Bonjour,
Soient deux mesures, -finie, sur .
, on pose .
On pose ensuite , où est la mesure produit.
Justifier que cette définition est licite.
Blocage total!
Je ne vois pas comment faire!
Je dois vérifier la sigma additivité, mais si je prends une union dénombrable d'ensembles deux à deux disjoints, , qu'est-ce que ?!
Bonjour,
Pour vérifier que c'est une tribu pas besoin de se taper les axiomes.
(x,y)->x+y est continue de R^{2n} dans R^n en particulier elle est mesurable et donc l'image réciproque d'un ensemble mesurable est mesurable.
Ben c'est du cour est définie sur la tribu produit. Cela résulte du théorème de caratheodory par exemple.
Ici la seule chose a verifier c'est que on peut bien prendre la mesure d'un élément de A tilde, c'est à dire que ces elements sont mesurable.
salut
comme j'arrive pas à faire le tilde je note B cet ensemble
pour y fixé considère Ay={xRn / x+yA}
idem pour Ax
et écrit ton B comme union de produit d'ensemble mesurable par i et utilise alors la définition de la mesure produit
tes Ax/y sont des translatés de A donc ssont mesurables...
Ok!
Peut-être que tu vas pouvoir m'éclairer pour la suite alors!
Vérifiez que et (où f,g sont deux fonctions mesurables) sont biens des mesures sigma-finies.
Alors j'arrive à montrer que ce sont des mesures, mais pour sigma-finie, je ne vois pas!
Non!
Une application est dite ssi c'est une application de dans tel que l'image réciproque de la tribu soit contenue dans la tribu .
Ok donc ton f c'est une application mesurable de omega dans R? Quelconque?
Alors c'est trivialement faux que µ1 est sigma-finie.
Prend la fonction constante egale a plus l'infini. La mesure de tout ensemble non negligeable est infinie.
utilise la définition de "f est mesurable", donc "f est intégrable" et la définition de "-finie" (suite croissante de boréliens dont l'union est A)
en gros tu crée une densité "pas trop épaisse" pour pouvoir effectivement mesurer A et que tes restent -finies
avec une mesure -finie le poids de peut être mais pas celui de tout sous-ensemble strict
dx est -finie donc f(x)dx le reste
à prouver rigoureusement donc =fdx est -finie
Oui f est a valeur dans [0,+oo] donc la fonction constante f=+oo est bien une telle fonction...
Et la mesure a densité f pour f=+oo, n'est pas sigma finie...
il est évident que si f= tu peux fermer ton cahier...
mais bon par déf de f est mesurable alors par définition [/sub]fdx est la borne sup (finie ou infinie) de [sub]dx où est étagée
donc ensuite tu l'applique non pas à mais à A (en multipliant par son indicatrice si tu veux) puis tu appliques la def de -finie à A
désolé
par définition fdx est la borne sup (finie ou infinie) de dx où est étagée
donc ensuite tu l'applique non pas à mais à A (en multipliant par son indicatrice si tu veux) puis tu appliques la def de -finie à A
Desolé mais f=+oo est mesurable, pour la tribu borelienne sur [0,+oo] car vu que f est constante elle est continue pour n'importe quelle topologie.
ca cas pathologique est sans intéret
la mesure de Lebesgue est -finie donc fdx le reste si f n'est pas trop pathologique
Oui donc il faut préciser les hypothèses. Si tu prends f quelconque mesurable de oemga dans [0,+oo], le résultat est faux point.
Bon admettons que l'on ait pas un cas pathologique comme dit carpediem, comment je prouve la chose suivante :
où le deuxième est une vraie convolution!
oui f= est mesurable la théorie de la mesure intégre ce cas mais évidemment ce qui nous intéresse est un cas non pathologique en vérifiant la def de "-finie" à A et qui élimine ce cas
Non mais je comprends pas ou est le souci...
Il a un truc a prouver qui est faux... Apres oui si l'on prend f par exemple localement intégrable, alors oui ca marche.
Pour l'autre question c'est une sommation en tranche, pour chaque y "decoupe A suivant l'axe des x". Le théorème de Fubini est ton ami.
Bon disons que f est localement intégrable Rodrigo, l'énoncé est tel qu'il est! Je vais voir avec mon prof, c'est lui qui la rédiger!
eh oui avec la déf de la convolution tu reviens à une intégrale double donc Fubini
la 2e égalité n'est que la def finition d'écriture de A~ est u1*u2 mesurable et sa mesure
pour simplifier grossomodo A~= Ay x Ax
donc tu intégres sur un produit d'ensembles chacun étant mesurables par tes i
pour y fixé Ay=A-y donc tu vois apparaitre la convolution de tes fonctions f et g
Donc c'est égale à :
Puis j'intègre par exemple selon x avant, et selon y après :
Je fais le changement de variable :
Et la je suis perdu!
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