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Méthode de Gauss

Posté par
Guitout 23-02-19 à 17:36

Bonjour, je suis entrain de faire des exos sur les formes bilinéaires et quadratiques et je bloque sur la méthode de Gauss pour diagonaliser des formes quadratiques.

Je sais que l'objectif c'est d'obtenir une décomposition de Q(une forme quadratique) en combinaison linéaire de carrés.

Mais je ne sais pas comment faire, pouvais-vous m'aider avec la forme quadratique suivante ? :

Q((x,y,z))=x^2+y^2+z^2-4(xy+yz+zx)

Posté par
Guitoutre : Méthode de Gauss 23-02-19 à 17:39

Guitout @ 23-02-2019 à 17:36

Bonjour, je suis entrain de faire des exos sur les formes bilinéaires et quadratiques et je bloque sur la méthode de Gauss pour diagonaliser des formes quadratiques.

Je sais que l'objectif c'est d'obtenir une décomposition de Q(une forme quadratique) en combinaison linéaire de carrés.

Mais je ne sais pas comment faire, pouvais-vous m'aider avec la forme quadratique suivante  :

Q((x,y,z))=x^2+y^2+z^2-4(xy+yz+zx)sur 3

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 23-02-19 à 18:17

salut

forme canonique vue en première ...

x^2 + y^2 + z^2 - 4(xy + yz + zx) = x^2 - 2(2y + 2z) + ....^2 - ....^2 + y^2 + z^2 - 4yz = ...

Posté par
Guitoutre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 11:30

Salut, avec un amie on a essayer en tatonnant et on est arriver à ça :

x^2+y^2+z^2-4 (xy+yz+zx) \\ =x^2+y^2+z^2-4xy-4yz-4zx \\ =(x-y)^2+z^2-2xy-4yz-4zx \\ =(x-y)^2+z^2-2xy-4yz-4zx-2z(x-y)+2z(x-y) \\ =(x-y+z)^2-2xy-2yz-6zx \\ =(x-y+z)^2-2y(x-z)-6zx+y^2-y^2+(x+z)^2-(x+z)^2 \\ =(x-y+z)^2-(x+z-y)^2-(6zx+y^2+(x+z)^2) \\

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 14:47

la dernière ligne n'est pas une somme (ou différence) de carrés ...

Posté par
Guitoutre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 15:50

Oui je sais, on avais bloquer car on avais l'impression de tourner en rond, mais quand on a réessayer ta methode, on a reussi x) donc merci

Posté par
luzakre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 16:02

Guitout @ 26-02-2019 à 11:30


Salut, avec un amie on a essayer en tatonnant et on est arriver à ça :
x^2+y^2+z^2-4 (xy+yz+zx)... \\ =(x-y)^2+z^2-2xy-4yz-4zx... \\

Non ce n'est pas la méthode de Gauss.
Quand on s'occupe d'un carré (et on doit commencer par là tant qu'il y a des carrés) ici, celui de x tu dois t'arranger pour qu'il ne reste plus de x après l'opération.
Ici, q(x,y,z)=(x^2-4xy-4zx)+y^2+z^2-4yz=(x-2y-2z)^2-V(y,z)+y^2+z^2-4yz : le V(y,z) étant ce qu'il a fallu ajouter pour avoir un carré. Ici, V(y,z)=(2y+2z)^2.

Ensuite q(x,y,z)=(x-2y-2z)^2-3y^2-3z^2-12yz et tu dois réduire la forme à deux variables r(y,z)=-3(y^2+z^2+4yz)
Il y a encore des carrés donc : r(y,z)=-3\Bigl((y+2z)^2-4z^2+z^2\Bigr)=-3(y+2z)^2+9z^2.

C'est le bon procédé pour obtenir des formes linéaires indépendantes permettant d'évaluer le rang, la signature, etc...
Si tu travailles comme tu as commencé tu as de grandes chances de trouver plus de 4 carrés de formes linéaires ce qui ferait une très mauvaise réduction.

Posté par
Guitoutre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 19:33

Salut,

J'ai bien compris mais comment faire si il n'y a pas de x^2 ou y^2 ?
J'ai par exemple la forme suivante :
q(x,y,z)=xy+yz+2zx
et voici ce que j'ai trouvé :

\\ xy+yz+2zx \\ =x^2-x^2+2zx+z^2-z^2+xy+yz \\ =(x+z)^2-x^2-z^2+xy+yz \\ =(x+z)^2-[x^2+z^2-xy-yz] \\ =(x+z)^2-[x^2+z^2-xy-yz+\frac{1}{4}y^2-\frac{1}{4}y^2] \\ =(x+z)^2-[(x-\frac{1}{2}y)^2+z^2-yz-\frac{1}{4}y^2] \\ \boxed{=(x+z)^2-(x-\frac{1}{2}y)^2+(\frac{1}{4}y+z)^2-2z^2} \\

Est-ce la meilleure façon de faire ?

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 19:38

quatre carré en dimension 3 ... ben c'est évidemment faux !!!

carpediem @ 23-02-2019 à 18:17

salut

forme canonique vue en première ...

x^2 + y^2 + z^2 - 4(xy + yz + zx) = x^2 - 2(2y + 2z) + ....^2 - ....^2 + y^2 + z^2 - 4yz = ...
c'est quand même triste de ne pas vouloir faire ce qui est proposé ... et confirmé par luzak

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 19:40

quatre carré en dimension 3 ... ben c'est évidemment faux !!!

carpediem @ 23-02-2019 à 18:17

salut

forme canonique vue en première ...

x^2 + y^2 + z^2 - 4(xy + yz + zx) = x^2 - 2{\red x }(2y + 2z) + ....^2 - ....^2 + y^2 + z^2 - 4yz = ...
c'est quand même triste de ne pas vouloir faire ce qui est proposé ... et confirmé par luzak en corrigeant évidemment l'oubli du x

Posté par
toureissare : Méthode de Gauss 26-02-19 à 22:48

Bonsoir,

Regarde ce lien.

Posté par
luzakre : Méthode de Gauss 26-02-19 à 23:29

Citation :
J'ai bien compris mais comment faire si il n'y a pas de x^2 ou y^2 ?
J'ai par exemple la forme suivante :
q(x,y,z)=xy+yz+2zx
et voici ce que j'ai trouvé :

Je t'avais prévenu !
Si tu ne suis pas la méthode de Gauss, en inventant des termes au hasard, tu feras (même sans erreur de calcul) une réduction inacceptable : les formes linéaires ne seront pas indépendantes.

Quand il n'y a plus de carré, tu prends un terme rectangle, par exemple xy et tu rassembles tout ce qui contient x,y :
Exemple : xy+yz+2xz=(x+z)(y+2z)-2z^2 (le terme correctif ne doit contenir ni x ni y) puis tu utilises l'identité ab=\dfrac14\Bigl((a+b)^2-(a-b)^2\Bigr)

Posté par
lafol Moderateurre : Méthode de Gauss 28-02-19 à 21:42

Bonjour
petite astuce pour savoir quoi mettre dans le produit : dériver partiellement par rapport aux deux variables choisies....

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 01-03-19 à 15:01

pas compris ...

Posté par
luzakre : Méthode de Gauss 01-03-19 à 15:43

Tu quoque !
f(x,y,z)=xy+axz+byz+cz^2,\;\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=y+az,\;\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x+bz et...
f(x,y,z)=g(z)+\red(y+az)(x+bz)

Posté par
carpediemre : Méthode de Gauss 01-03-19 à 16:38

merci ...


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