Bonjour Dcamd,

Tu entends quoi par la méthode de Gram-Schmidt ?
Généralement, elle s'applique à une famille de vecteur d'un espace vectoriel muni d'un produit scalaire.
Ici tu nous donnes une matrice et aucun produit scalaire spécifique.

En imaginant que tu te places dans R^3 avec le produit scalaire usuel, alors les colonnes de ta nouvelle matrice forment bien une famille orthonormale de R^3.
Apres je ne sais pas si c'est bien ce que tu veux.

Bonjour Narhm,

D'accord, donc c'est pour cela que la matrice n'est pas triangulaire et encore moins diagonale.
Je ne voulais pas mettre le doute, c'est que je ne sais pas vraiment comment est sensée fonctionner la méthode.

On a effectivement une forme bilinéaire symétrique qui est un produit scalaire. (Représentée par ma première matrice).
L'énoncé me demande d'utiliser la méthode de Gram-Schmidt pour orthogonaliser la base de R³ pour le produit scalaire

Donc, là, j'ai trouvé les éléments d'une famille orthonormée, c'est bien ça ?

On me demande d'exprimer la matrice de dans la nouvelle base ainsi obtenue.

C'est pour orthonormaliser la base de R³, erreur de recopie

Ah dans ce cas c'est tout autre chose à priori.

J'imagine que la base choisie pour représenter est la base canonique de R^3 (e1,e2,e3).
Dans ce cas, il faut appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la famille de vecteur (e1,e2,e3).

Le procèdé te dit qu'on peut obtenir une autre famille (v1,v2,v3) à partir de (e1,e2,e3) mais qui est orthogonale pour dans un premier temps. Dans un deuxieme temps, on la normalise pour avoir une famille orthonormale de R^3.

Les vecteurs v1,v2,v3 sont déterminés de proche en proche très naturellement :
- v1=e1
- v2=e2-(v1,e2)v1
- v3=e3-(v1,e3)v1-(v2,e3)v2

Donc, ce que j'ai fait est faux ?

La matrice que tu as donnée représente celle d'une forme bilinéaire symétrique. Ok. Mais quelle famille de vecteurs veux tu Gram-Schmidt-orthogonaliser ?
Je rappelle que le procédé d'orthogonalisation pour un produit scalaire donné consiste à associer à une famille de vecteurs orthogonaux pour ce produit scalaire.
Donc si tu ne me donnes pas de vecteurs à Gram-Schmidter... héhé...

Oui.
En plus, tu n'as pas vraiment expliqué ce que tu avais fait ( moi j'ai compris que tu avais appliqué le procedé de G-S sur les vecteurs colonnes de la premiere matrice, alors qu'il n'y a pas lieu ).

Narhm et moi-même sommes dans l'attente d'une famille de vecteurs à adopter.

C'est la base canonique de R³ apparemment

Cela confirme mon idée et dans ce cas :

A la question, trouver une base de R^3 orthonormale pour ->  tu peux reprendre le message de 23:39.
A la question déterminée l'expression de la nouvelle matrice de dans cette base -> tu peux considérer la matrice de passage de la base canonique dans la nouvelle base pour t'aider, du moins si tu ne connais pas d'autre résultat.

Je vais faire un programme récursif sur Gram-Schmidt et je te réponds.
Mais vérifie déjà si tes vecteurs sont orthonormaux pour ta fb (si c'est le cas, tu auras de fortes chances (malheureusement pas 100% car il n'y a pas unicité^^) que tu ais appliqué G-S correctement.

J'avais posé ₁=e₁ avec e₁ premier vecteur de la première matrice.

Ensuite j'ai écrit

₂=e₂+ ₁ avec tel que 0=<₂|1> = <e₂|₁>+₁²

Ca n'est pas juste ?

C'est un - à la place d'un +

je rappelle le procédé:

http://www.techno-science.net/?onglet=glossaire&definition=5136

Pourquoi vouloir prendre les vecteurs colonnes de ta matrice ?
Ta matrice est la représentation de Phi (produit scalaire) dans une base (b1,b2,b3) de R^3.
Ca veut dire que si on appelle A ta matrice et A_ij ses coefficients, on a A_ij=(b_i,b_j).

Il n'y a donc aucun rapport entre les coefficients de A et une base de R^3 à priori.

Ensuite ₃=e₃+₂+₁

avec et tels que :

<₃|₂>=<e₃,₁> + _1^[/sup]2=-2+5

et


<₃|₂>=<e₃,₂> + _2[sup]2=7+45

En fait j'ai essayé d'appliquer la méthode telle qu'elle était présentée dans le cours qui se trouve ici : pagesperso-orange.fr/lavau/mpsi2003/ESPEUCL.PDF

Si, parce que l'image d'une fbs est toujours une base (mais je reconnais que ça n'était pas l'objet de la confusion !)

je vois qu'on ne travaille pas son poly!!

Il était pas encore en ligne

(Je l'ai récupéré juste aujourd'hui )

je dois avouer qu'il est de haut niveau

C'est certain ^^

Donc, c'est un autre Gram-Schmidt ?

Attendez, si tu suis le notation du poly, on est en train de tout mélanger alors.

On est d'accord sur le point suivant : le procèdé de G-S transforme une famille de vecteur en une famille orthogonale.

Dans le poly que tu donnes, l'auteur écrit une base constituée des vecteurs colonnes e1,e2,e3 sous la forme d'une matrice dont les colonnes sont e1,e2,e3.
Dans ce cas, si on veut transformer la famille e1=(-1,2,6),e2=(-2,6,1),e3=(0,1,1) en une famille orthonormale pour le produit scalaire euclidien via G-S , la bonne réponse est celle que tu fournissais au début : il s'agit bien de la famille (f1,f2,f3) définie par f1=(1/sqrt(5),-2/sqrt(5),0), f2=...

Par contre, si la première matrice que tu donnes est celle d'un produit scalaire exprimé dans une base ( que personne ne connait vraiment ^^ ), je persiste qu'il y a un probleme.

Je ne sais pas si je suis bien clair.

Si, c'est clair. (Enfin, je crois )

Les questions de l'exercice étaient :

1) Montrer que est un produit scalaire.
2) Calculer la matrice de dans la base canonique de R³
3) A l'aide de la méthode de Gram-Schmidt orthonormaliser la base canonique de R³ pour le produit scalaire
4) Donner sans calcul la matrice de dans la nouvelle base ainsi obtenue.

Ca a permis de mieux cerner l'énoncé ?

Et on a

Désolé, je crois que c'était le détail à ne pas oublier.

Je pensais que la matrice se suffisait à elle-même. (Pour appliquer G-S)

Là, il y a tout

Tout est clair!
Il faut suivre les instructions  de Narhm

Ok, parfait. C'est nettement mieux la

Donc pour 3), il ne sert strictement à rien de vouloir prendre les vecteurs colonnes de la première matrice.
Il est juste demandé d'appliquer G-S avec Phi et la base canonique. Donc pour ceci, tu peux regarder mon message de 23:39 en remplaçant e1,e2 et e3 par (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).
Ceci revient au meme que ce qui est écrit dans le poly.

Le fait d'avoir la matrice de Phi dans une base détermine completement Phi, donc on a juste besoin d'une écriture : )

D'accord Narhm Merci

Pour la question 4, ce sera la matrice obtenue par G-S sur la matrice formée des vecteurs de la base canonique ?

Heu, ta phrase n'est pas très claire.
La matrice que tu vas obtenir sera des plus simples, i.e diagonale.
Si jamais tu ne vois pas pourquoi ramène toi à la définition de ce qu'est la matrice d'une forme bilinéaire dans une base. ( cf mon message de 23:58 ).

la matrice dans la base des vecteurs Gram-Schmidt-Orthonormalisés de la base canonique.

D'accord. Merci

Je reviens juste sur un truc.
C'est à propos du message de 23:39. J'ai oublié de dire qu'il fallait normaliser quelques vecteurs :
Si je note la norme associée à alors pour transformer la famille (e1,e2,e3) en une famille orthogonale (v1,v2,v3) pour , il fallait bien sur lire :



La famille (v1,v2,v3) est ainsi une famille orthogonale grace au procedé de Gram-Schmidt. Reste plus qu'à la normaliser pour avoir notre base de R^3 orthonormée.

Je te donne les vecteurs en question pour que tu vérifies si tu le souhaites :

Merci Beaucoup Nahrm pour cette réponse. (Je viens de voir le message )