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Méthode de la variation de la constante

Posté par May (invité) 06-11-05 à 11:21

Bonjour,

J'ai fait un exercice en ED de physique, mais il ne s'agit en réalité que de mathematiques, et le professeur nous a montre cette savante technique qu'est la méthode de la variation de la constante.
Voici l'énoncé:

"On considère un élément instable A, sujet à une désintegration radioactive, donnée pas l'équation différentielle y'=-ay, où a est une cste caractéristique du corps considéré.
On suppose que cet élément se désintègre en un autre élément radioactif B, de cste caractéristique b\neqa. La quantité (A, B) des deux éléments varie au cours du temps, suivant le système:

y'=-ay
z'=ay-bz

Calculer sa solution générale"

Et la, alors qu'en terminale on utilisait une fonction toute faite du type f(t)=kexp(-at)-b/a, on a ici droit à cette méthode...
Malheureusement, je ne comprend pas ce qu'a fait le prof, quelqu'un pourrait-il m'expliquer le fonctionnement de cette methode?

Posté par
stokastikre : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 11:25


Pourquoi te priver du plaisir de faire toi-même une recherche avec Google ?

Posté par
stokastikre : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 11:33

Je me demande si tu ne te mélanges pas les pinceaux... Tu parles de deux équations différentielles là.

Regarde le début de ce document, ça me semble bien fait :  

Posté par May (invité)re : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 11:42

Oh mais j'ai fait une recherche avec google (don't worry, google's my friend), trouvé environ 321 000 correspondances, ouvert les cinq premiers sites, imprimés ce qu'ils proposaient, souligné, comparé, et si je demande de l'aide ici, c'est parce que visiblement cela ne m'a pas aidé, mais peut-être devrais-je être plus explicite dans mes propos, voila ce que je ne comprend pas:
- début de la méthode: il est écrit par mon prof : z'+dz=f(t)
déjà à ce niveau, apparition de dz, sorti de je ne sais où, mais je suppose que j'ai mal compris, c'était en réalité bz, passons...

- z(t)=C(t)zo(t) serait solution de z'+bz=0, mais comment le sait-on, faut-il l'apprendre par coeur? de plus, pas la moindre trace de cette formule dans ce site notamment

Et cela continue longtemps.
Je me demande donc comment faire, si j'ai vraiment un problème perso de comprehension, ou si mon prof pensait à autre chose, toujours est-il que je ne demande pas la solution entière pour résoudre une telle chose, juste le principe

Posté par jerome (invité)re : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 11:56

Salut,

Je te donne un exemple pour la méthode :

3$\rm y'+2y=e^x (E)

les solutions de l'équation sans second membre (y'+2y=0) sont du type :
3$\rm y(x)=K.e^{-2x}

On pose alors :
3$\rm K=K(x)

On obtient une fonction du type :
3$\rm z(x)=K(x).e^{-2x}

On recherche une solution particulière sous la forme de z(x) :
3$\rm z(x)=K(x).e^{-2x}\\z'(x)=-2K(x).e^{-2x}+K'(x).e^{-2x}\\On reinjecte dans E :\\z'(x)+2z(x)=e^x\\-2K(x).e^{-2x}+K'(x).e^{-2x}+2K(x).e^{-2x}=e^x\\K'(x).e^{-2x}=e^x\\K'(x)=e^x.e^{2x}\\K'(x)=e^{3x}\\\Bigint K'(x) dx=\Bigint e^{3x} dx\\K(x)=\frac{e^{3x}}{3}

Retour a z(x) :
3$\rm z(x)=\frac{1}{3}.e^{3x}.e^{-2x}\\z(x)=\frac{1}{3}.e^x

Les fonctions solutions de E sont donc du type :
5$\rm\red\fbox{f(x)=Ke^{-2x}+\frac{1}{3}.e^x

Sauf distraction
A+

Posté par May (invité)re : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 11:59

Merci à vous deux stokastik (désolé je n'avais pas vu ton deuxième message) et  jerome, je pense pouvoir m'en sortir avec tout cela !

Posté par jerome (invité)re : Méthode de la variation de la constante 06-11-05 à 12:03

De rien

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