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Methode de Newton

Posté par simonosaxo (invité) 31-12-06 à 17:50

Bonjour,
voici les 1res questions d'un probleme sur la methode de Newton qui me posent quelques problemes...merci d'avance pour votre attention..

On considere une fonction f de classe C^2 sur un intervalle [a,b]. On suppose que f' > 0 sur [a,b], que f s'annule en un point c\in[a,b], et on cherche un moyen d'approximer la valeur de c. Pour cela, on construit la suite de Newton u_n en prenant u_0 "proche de c" et en iterant la relation de recurrence suivante:
u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}

On montre dans un premiere qestion que l'intersection d'une tangente a la courbe en un point x_0 avec l'axe des abscisses est x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}

2.On se place dans le cas ou f est convexe sur [a,b].Montrer que la suite de Newton issue de u_0=b converge bien vers c.
Dans cette question j'ai du mal a monter que u_n est decroissante. Je peux par la suite montrer qu'elle converge puisque minoree par c mais comment conclure que ce dernier est sa limite.

Que se passe-t-il si f est concave?

3. On se place dans le cas general et on pose g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}
a)Calculer g'(x) et en deduire que pour tout x de [a,b] on a |g(x)-c|\le M_f|x-c|^2 ou l'on a pose M_f=\frac{sup|f''(x)|sup|f(x)|}{2inf|f'(x)|}
les sup et inf etant pris sur l'intervalle [a,b].

b)deduire de la question precedente la valeur d'un reel \alpha>0 tel que si |u_0-c|<\alpha, alors u_n est bien definie(i.e a valeurs dans [a,b] et tend vers c.

Merci d avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 17:56

Bonsoir simonosaxo

Pour la question 2, n'oublie pas que ce n'est qu'une suite récurrente donc pour connaitre le comportement de la suite, il faut étudier la fonction associée à cette suite récurrente.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:04

je suppose que ce conseil porte sur la decroissance de u_n.L'intervalle [c,b] n'etant pas forcement stable,puis je conclure quelque chose sur la monotonie de la suite?

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 18:18

Justement si, cet intervalle est stable même si ça ne se voit pas au premier coup d'oeil.
Pour t'en convaincre, je te conseille de faire une étude de fonction.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:22

En etudiant la fonction g(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)} et en supposant que f est convexe,je n'arrive qu'a montrer que f decroit sur [c,b] par que ce derneir est stable...aurais tu un coup de pouce kaiser?

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:23

pardon que g decroit sur [c,b]

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 18:25

En es-tu sûr ?
Ne serait-ce pas plutôt le contraire ?
Comment as-tu procédé ?

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:31

euh oops g'(x)=\frac{f''(x)*f(x)}{(f'(x))^{2}}
et oui encore pardon g croissante si jarrive a montrer que [c,b] est stable jai u_1inferieur a u_0 et Un decroissante mais comment montrer que l intervalle est stable..

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 18:34

Comme g est croissante, alors que vaut l'image de l'intervalle [c,b] par g ?

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:37

ok c'est laborieux ce soir desole...merci de ton aide...une derniere petite question...je ne vois pas dou vient le 1/2 dans Mf dans la question 3 (dailleurs au numerateur ce n est pas f mais f')

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 18:46

Je vais essayer de te répondre en te posant une autre question :

L'inégalité à démontrer fait intervenir la quantité suivante : \Large{\frac{|x-c|^{2}}{2}}.

ça ne te dit rien ?

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:50

|x-c| me fait penser au denominateur d u taux d accroissement le carre pour moi provient du f(x) dans la derivee de g car f(x) inferieur a |x-c|sup|f'(x)| mais le 1/2 j avoue que je ne vois pas

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 18:52

Je te donne une petite indication : formule de Taylor-Lagrange.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 18:57

donc il faut faire intervenir les developpements limites...je n y avais pas pense

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 19:00

Je n'ai pas dit développement limité mais formule de Taylor-Lagrange ce qui n'est pas la même chose.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 19:02

donc g(x)=g(c)+(x-c)g'(c)+1/2(x-c)²g''(c)+...
je vais voir ce que je peux en faire

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 19:19

dans l inegalite de taylor lagrange je dois aller jusqu a la derivee seconde qui n est pas le resultat voulu...j ai une derivee tierce..

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 19:23

Dans ce cas-là, écris cette inégalité à l'ordre 1.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 19:26

c est a l ordre 1 que je l ecris...|g(x)-c|\le sup f''(x)\frac{1}{2} |x-c|^2

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 19:32

C'est peut-être encore une faute de frappe : c'est plutôt \Large{\sup_{t\in [a,b]} g''(t)}.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 19:52

oui pardon g'' et j ai du f tierce

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 19:56

Ah bon ?
Je ne comprend pas comment tu obtiens la dérivée troisième de f.
Comment procèdes-tu après avoir écris l'inégalité de Taylor-Lagrange ?

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 31-12-06 à 19:59

dans l expression de g' il y a du f'' donc quand j ecris g'' il y a du f tierce

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 31-12-06 à 20:36

Au temps pour moi.
Dans ce cas, il faut procéder autrement car f n'est pas supposée 3 fois dérivable mais seulement de classe \Large{C^{2}}.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 01-01-07 à 12:32

as tu une autre solution ca r j avoue bloquer completement...

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 01-01-07 à 12:37

Pour l'instant, je bloque.
Par contre, pourrais-tu revérifier l'inégalité à démontrer, à tout hasard ? (au dénominateur, il n'y aurait pas de carré).

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 01-01-07 à 12:42

oops j avais pourtant relu oui au denominateur c est bien en effet inf|f'(x)|^2
je m excuse

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 01-01-07 à 15:51

ne pourrait on pas s en sortir avec l egalite des accroissements finis?

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 01-01-07 à 15:58

Je dois t'avouer que je ne vois pas trop comment procéder.
Juste pour bien préciser les choses :

Il faut bien montrer que pour tout x appartenant à [c,b], on a :

\Large{|g(x)-g(c)|\leq \frac{\sup_{t\in [a,b]}|f''(t)|\sup_{t\in [a,b]}|f(t)|}{\inf_{t\in [a,b]}|f'(t)|^{2}}\frac{|x-c|^{2}}{2}}

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 01-01-07 à 16:00

c'est pour tout x appartenant a [a,b] et g(c)=c

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 01-01-07 à 16:02

Au temps pour moi, je me suis trompé (mais on a bien g(c)=c par le calcul).
Je continue à chercher mais je ne te promets rien.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 01-01-07 à 16:31

le probleme est compose d'une seconde partie sur l'approximation de
j'ai un petit probleme sur la 2eme question...j'ecris neanmoins la 1ere pour introduction au probleme pose..

On considere pour tout n les fonctions polynomiales :

4$P_n(x)=\Bigsum_{k=\0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!} et 4$Q_n(x)=\Bigsum_{k=\0}^{n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!}

On definit la suite (u_n) par u_0=\frac{1}{2} et u_{n+1}=u_n-\frac{P_{\phi(n)}(u_n)-\frac{1}{2}}{Q_{\phi(n)}(u_n) ou (n) est une fonction de dans que l'on va chercher à construire dans les questions suivantes.

1.En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout x de [0,1] on a

|P_n(x)-Sin x|\le\frac{1}{(2n+3)!} et |Q_n(x)-Cos x|\le\frac{1}{(2n+2)!}

je pense avoir reussi a faire cette question.

2.Montrer que pour tout n \ge 1 et tout x de [0,1] on a Q_n(x)>0. En deduire que l'equation P_n(x)=\frac{1}{2} n'admet sur [0,1] qu'une unique solution que l'on notera C_n

3.Soit c dans [0,1] verifiant sin c = \frac{1}{2}.
Montrer que |C_n-c| \le \frac{1}{(2n+3)!inf Q_n(x) avec x dans [0,1]

Posté par
kaiser Moderateurre : Methode de Newton 01-01-07 à 16:36

Pour la première partie de la deuxième question, essaie une récurrence.

Kaiser

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 04-01-07 à 14:25

j'ai finalement réussi le I 3 a) par une etude de fonctions...merci de ton aide Kaiser j'ai desormais des difficultes pour la question 3b) et la suivante:

on prouve avant en 3c) l'inegalite suivante:
v_n \le 2^n(v_0+ln M_f)-M_f avec |u_0-c| \le \alpha,u_nc et on pose v_n=ln|u_n-c|

On ecrit a la question 3d) un developpement limite de g a l'ordre 2 au visinage de c: je trouve g(x)=c+\frac{f''(c)(x-c)^2}{2f'(c)}

puis il faut en deduire que \frac{v_n}{2^n} converge vers un reel C qu'on ne cherhcera pas a exprimer.

Cette question me pose davantage de problemes...merci d avance pour un petit coup de pouce..si vous avez egalement des idees pour la seconde partie postee precedemment..merci

Posté par simonosaxo (invité)re : Methode de Newton 05-01-07 à 14:47

quelqu'un aurait-il une idee pour les questions 2 et 3 de la 2eme partie: approximation de ...
merci d'avance

Posté par
eldare : Methode de Newton 05-01-07 à 19:01

bonsoir, je me joins aussi à cette conversation parce que je me suis mise également au dm, et je vois que je suis pas la seule à avoir eu qqs pbs.
Donc pour la 3)a), j'avais fait du Taylor Lagrange, mais ça me donne f(x)-T_{2,f,c}(x)=f''(d) \times \frac{(x-c)^2}{2}
et donc j'ai f(c)=0=f(x)+(c-x)f'(c)-(x-c)^2 \times \frac{f''(c)+f''(d)}{2}
mais bon... et donc j'ai cherché sur internet, j'ai trouvé ça:
mais un signe foire et j'ai la somme de deux f'' et pas eux.
Bref si qq'un peut m'aider. Ou Simon comme t'as l'air d'avoir su le faire, si tu peux m'aider stp

Posté par n3m3s1s_hx4 (invité)re : Methode de Newton 05-01-07 à 21:48

Bonsoir,

ça fait 3 hx4 à galérer sur ce dm...Pour la question 2 moi j'ai majoré g' en dérivant ,ça donne du \frac{sup|f''|. sup|f|}{inf|f'|^2}, puis on peut majorer sup|f|  par sup|f'|.(x-c) en appliquant  Taylor Lagrange à l'ordre 1 sur f; enfin on applique le TAF sur g et ça donne bien le résultat cherché...

Pour ma part je bloque sur la question 3 de la partie II...Si quelqu'un a une piste ?

Posté par
eldare : Methode de Newton 06-01-07 à 18:06

re, pour la majoration, t'as utilisé le machin de Taylor, mais comment on sait si c'est une majoration ou minoration?
et j'ai fait ce que t'as dit mais il me manque le 2 du dénominateur... tu pourrais m'aider?

Posté par n3m3s1s_hx4 (invité)re : Methode de Newton 06-01-07 à 19:58

En dérivant g, tu aboutis à  g'(x)<= \frac{sup|f''|.sup|f|}{inf|f'|^2}. Or :
f(x)=f(x) -f(c)<= sup|f'|.|x-c|
Enfin |g(x)-g(c)|=|g'(t)dt||g'(t)|.dtsup|g'|.|t-c|.dt   (entre c et x) , le 2 vient en intégrant |t-c|.dt à la fin , et on a la majoration de g' juste avant.

Posté par
eldare : Methode de Newton 06-01-07 à 20:17

ah oui d'accord, merci beaucoup!
j'ai pas fait la même chose, mais je pense pas que ce que j'ai fait soit arrangeable, ça donne juste une majoration trop grossière.
encore merci


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