Je ne sais plus ce que tu entends par méthode de Newton (il a fait tant de choses ce brave homme) mais je pense que le plus simple est de montrer par récurrence que la suite Un est décroissante et minorée par rac(2): en effet si Un^2>2, Un>2/Un donc U(n+1)<Un et U(n+1)^2-2=Un^2/4+1+1/Un^2-2=(Un/2-1/Un)^2>0

une méthode de newton est "la méthode des tangentes" :p
utilisé pour calculer racine(2) avec une bonne précision:p
c est ca que tu veux??

jte le raconte pour ta culture G si tu t en sers pas :p
en gros tu cherche le point ou ta courbe va toucher l axe des abscisse
jprend la fct "o hasar"
f(x)=x²-2 :p
sur l intervalle [0,2]
prenons par exemple Xo=2
on a f(x)=2
la on va cherché en quel point cet tangente coupe l axe des abcisse
equation de la tangente :
y=2Xo(X-Xo)+(Xo²-2)
et le X on va l apellé X1 :p
ca donne X1=1/2(X0+2/X0)

MAGIQUE :p
J espere tu comprend mieux d ou est tiré cette suite :p