Bonjour,
Je suis actuellement bloqué sur un exercice qui utilise la méthode de newton pour trouver un point fixe.
Une partie de l'énoncé :
1) Soit f(x) = x² -2.
On veut calculer numériquement la racine positive de f. Pour V0 donné, écrire la suite récurrente Vn que l'on obtient en appliquant la méthode de Newton à f.
>>> J'ai fais cette question et j'ai trouvé :
V0 = Racine(2) (Je ne suis pas trop sûr du choix de V0) , Vn+1 = Vn/2 + 1/Vn
2) Quelle est la fonction g dont le point fixe est la racine de f ?
3) Montrer que la suite Vn converge si V0 = 2.
4) Exprimer ( Vn+1 - Racine(2) ) en fonction de (Vn - Racine(2) ). En déduire un équivalent de ( Vn+1 - Racine(2) ) lorsque n tend vers +inf et l'ordre de convergence de la suite Vn vers sa limite.
Si quelqu'un pourrait me donner des conseils/pistes sur cet exercice ça m'aiderais beaucoup.
Merci d'avance.
Bonjour, OK pour , c'est bien d'avoir trouvé ça.
non si tu pars de 2, tu es directement sur la solution, donc tu vas trouver V1=
2; etc...
A pars 0 tu peux partir de n'importe quoi, ça va converger :
La fonction c'est f(x)=1/2+1/x, je te l'ai dessiné ainsi que y=x qui sert à rabattre les termes de la suite de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. On voit ainsi évoluer graphiquement les termes de la suite.
En partant de 2, montre que la suite est décroissante. Décroissante et minorée par 0, tu pourras ainsi montrer qu'elle converge.
Salut,
Merci pour tes réponses, j'y vois plus clair. Il est vrai que partir de racine(2) pour arriver à racine(2) était un peu stupide... Je vais travailler la dernière question et voir ce que je peux trouver.
Encore merci.
Salut,
Vous n'auriez pas une idée sur la dernière question ? Quelle formule méthode utilisée ?
Merci d'avance.
Sinon, la continuation logique avec le guide donné par l'énoncé, c'était : Vn > 1 se démontre simplement par récurrence car si c'est vrai pour n, c'est vrai aussi pour n+1 car Vn/2+1/Vn>1 [(Vn-1)²+1]/2Vn>0 qui est évident.
Donc Si V0=2, ça tend donc vers 0 et Vn tend donc bien vers
Bonjour,
Oui,je m'évade souvent des énoncés.
Ils sont souvent pour moi une piste
de réflexion.
Mon approche ,ici, permet connaissant la
valeur de départ (germe) et le résultat
itéré de calculer le nombre d'étapes n effectué,
Alain
ho oui c'est bien trouvé, mais la personne à qui on a posé l'exercice va sans doute trouver que c'est un peu tarabiscoté d'imaginer spontanément un changement de variable comme ça alors que l'énoncé n'en parle pas.
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