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Niveau Licence Maths 1e ann
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Methode de Newton - Point fixe

Posté par
Raikyn
18-06-12 à 12:08

Bonjour,

Je suis actuellement bloqué sur un exercice qui utilise la méthode de newton pour trouver un point fixe.
Une partie de l'énoncé :

1) Soit f(x) = x² -2.
On veut calculer numériquement la racine positive de f. Pour V0 donné, écrire la suite récurrente Vn que l'on obtient en appliquant la méthode de Newton à f.
>>> J'ai fais cette question et j'ai trouvé :
V0 = Racine(2) (Je ne suis pas trop sûr du choix de V0) ,  Vn+1 = Vn/2  +  1/Vn

2) Quelle est la fonction g dont le point fixe est la racine de f ?

3) Montrer que la suite Vn converge si V0 = 2.

4) Exprimer ( Vn+1 - Racine(2) ) en fonction de (Vn - Racine(2) ). En déduire un équivalent de ( Vn+1 - Racine(2) ) lorsque n tend vers +inf et l'ordre de convergence de la suite Vn vers sa limite.


Si quelqu'un pourrait me donner des conseils/pistes sur cet exercice ça m'aiderais beaucoup.

Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Methode de Newton - Point fixe 18-06-12 à 14:35

Bonjour, OK pour V_{n+1}=\dfrac{V_n}{2}+\dfrac{1}V_n}, c'est bien d'avoir trouvé ça.

non si tu pars de 2, tu es directement sur la solution, donc tu vas trouver V1=2; etc...
A pars 0 tu peux partir de n'importe quoi, ça va converger :
Methode de Newton - Point fixe Methode de Newton - Point fixe

La fonction c'est f(x)=1/2+1/x, je te l'ai dessiné ainsi que y=x qui sert à rabattre les termes de la suite de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. On voit ainsi évoluer graphiquement les termes de la suite.

En partant de 2, montre que la suite est décroissante. Décroissante et minorée par 0, tu pourras ainsi montrer qu'elle converge.

Posté par
Raikyn
re : Methode de Newton - Point fixe 19-06-12 à 08:32

Salut,

Merci pour tes réponses, j'y vois plus clair. Il est vrai que partir de racine(2) pour arriver à racine(2) était un peu stupide... Je vais travailler la dernière question et voir ce que je peux trouver.

Encore merci.

Posté par
Raikyn
re : Methode de Newton - Point fixe 21-06-12 à 10:10

Salut,

Vous n'auriez pas une idée sur la dernière question ? Quelle formule méthode utilisée ?

Merci d'avance.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Methode de Newton - Point fixe 21-06-12 à 14:34

Bonjour ça commence par V_{n+1}-\sqrt{2}=\dfrac{V_n}{2}+\dfrac{1}{V_n}-\sqrt{2}=\dfrac{V_n^2-2\sqrt{2}V_n+2}{2V_n}=\dfrac{(V_n-\sqrt{2})^2}{2V_n}

Posté par
alainpaul
re : Methode de Newton - Point fixe 21-06-12 à 18:44

Bon,


Je propose une paramétrisation:
t=\frac{x-\sqrt{2}}{x+\sqrt{2}}
 \\ x = \sqrt{2}\times \frac{1+t}{1-t}

la r ème itérée de
r(x)=(x+2/x)/2
s'écrit alors :
r^{[n]}(x) = \sqrt{2}\times \frac{1+t^{2^n}}{1-t^{2^n}}



Alain

Posté par
Raikyn
re : Methode de Newton - Point fixe 24-06-12 à 10:20

Ok, merci beaucoup !

A bientôt.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Methode de Newton - Point fixe 25-06-12 à 16:06

Sinon, la continuation logique avec le guide donné par l'énoncé, c'était : Vn > 1 se démontre simplement par récurrence car si c'est vrai pour n, c'est vrai aussi pour n+1 car Vn/2+1/Vn>1 [(Vn-1)²+1]/2Vn>0 qui est évident.

Donc V_{n}-\sqrt{2}=\dfrac{(V_{n-1}-\sqrt{2})^2}{2V_{n-1}} < \dfrac{(V_{n-1}-\sqrt{2})^2}{2}< ...<(\dfrac{(V_0-\sqrt{2})^2}{2})^n Si V0=2, ça tend donc vers 0 et Vn tend donc bien vers \sqrt{2}

Posté par
alainpaul
re : Methode de Newton - Point fixe 25-06-12 à 16:37

Bonjour,


Oui,je m'évade souvent des énoncés.

Ils sont souvent pour moi une piste
de réflexion.

Mon approche ,ici, permet connaissant la
valeur de départ (germe) et le résultat
itéré de calculer le nombre d'étapes n effectué,



Alain

Posté par
Glapion Moderateur
re : Methode de Newton - Point fixe 25-06-12 à 16:40

ho oui c'est bien trouvé, mais la personne à qui on a posé l'exercice va sans doute trouver que c'est un peu tarabiscoté d'imaginer spontanément un changement de variable comme ça alors que l'énoncé n'en parle pas.

Posté par
alainpaul
re : Methode de Newton - Point fixe 25-06-12 à 17:11

Bon,


Parfois,il me semble que les énoncés sont des
pistes trop bien fléchées ...


Nom deud'la - l'imagination - même au risque d'un beau
plantage!


Amicalement,


Alain



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