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Méthode de réduction de Gauss

Posté par
ZiYun 10-02-19 à 23:49

Bonsoir,

J'essaye d'écrire un algorithme analogue à celui de la réduction de Gauss des formes quadratiques, mais je ne vois pas trop comment faire.

Une forme hermitienne en dimension finie ca s'écrit de la façon suivante : \Phi (x)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}\left|x_{i} \right|^{2}}+2\sum_{1\leq i\prec j\leq n}^{}{Re(\bar{x_{i}}\bar{x_{j}}a_{i,j})}
Je ne sais pas déjà si je dois l'écrire comme combinaison linéaire de carrés de formes antilinéaires et de formes hermitiennes, ou comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires et de formes hermitiennes...
Et aussi je ne vois pas comment on peut factoriser par un x_{i} dans le cas où a_{i,i} non nul par exemple.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de comprendre cette méthode d'écriture des formes hermitiennes comme combinaison linéaire de carrés de formes plus simples.

Merci d'avance,

Posté par
lafol Moderateurre : Méthode de réduction de Gauss 11-02-19 à 00:03

Bonjour
jette un œil ici : formes quadratiques hermitiennes

Posté par
ZiYunre : Méthode de réduction de Gauss 14-02-19 à 22:56

Bonsoir,

J'ai fais une tentative mais en vain
Je reprends l'écriture d'une forme hermitienne en dimension finie : \Phi (x)=\sum_{i=1}^{n}{a_{i,i}\left|z_{i} \right|^{2}}+2\sum_{1\leq i\prec j\leq n}^{}{Re(\bar{z_{i}}z_{j}}a_{i,j})}
On suppose que a_{1,1}\neq 0 et on rassemble les termes en z_{1} : \Phi (x)=a_{1,1}\left|z_{1} \right|^{2}+2\sum_{j=2}^{n}{Re(\bar{z_{i}}z_{j}a_{1,j})}+A
A est ce qui reste.
Si a_{1,1}=1 on pourrait écrire : \left|z_{1} \right|^{2}+2\sum_{j=2}^{n}{Re(\bar{z_{i}}z_{j}a_{i,j})}=\left|z_{1}+\sum_{j=2}^{n}{a_{1,j}z_{j}} \right|^{2}-\sum_{j=2}^{n}{\left|a_{1,j}z \right|^{2}}-2Re(\sum_{k=1}^{n-1}{\sum_{2\leq j_{1}<...<j_{k}\leq n}^{}{a_{1,j1}...a_{1,jk}z_{j1}...z_{jk}})
Déjà l'expression est horrible... et si a_{1,1}\neq 1 je ne sais pas quoi faire.

J'espère que vous pourrez me donner plus d'indication pour pourvoir écrire cet algorithme correctement.

Merci d'avance,

Posté par
carpediemre : Méthode de réduction de Gauss 15-02-19 à 10:46

salut

je note z* le conjugué de z

si a_1,1 est nul ... ben tu prends le premier a_i,i non nul

je suppose a_1,1 non nul

tu te compliques la vie avec ton écriture

f(x) = \sum_{i, j} a_{i, j} x_i x_j^* = a_{1,1} x_1 x_1^* + \sum_{j > 1} ( a_{1,j} x_1x_j^* + a_{j,1} x_1^*x_j) + \sum _{i, j > 1} a_{i,j}x_ix_j^*}

on s'occupe alors des deux premiers termes de cette somme et après avoir factoriser par a = a_1,1 on a :

g(x) = x_1x_1^* + \sum_{j > 1} \left( \dfrac {a_{1,j}} a x_1x_j^* + \dfrac {a_{j,1}} a x_1^*x_j \right)

pour simplifier les calculs posons alors b_j = a_{1,j} et on sait que a_{j, 1} = b_j^*

donc g(x) = x_1x_1^* + \dfrac 1 a \sum_{j > 1} \left( b_j x_1x_j^* + b_j^* x_1^*x_j \right)

et à partir d elà tu cherches ta forme canonique associée


en fait pour bien comprendre je te conseille de faire un exemple théorique avec n = 4

il te sera alors aisé de généraliser ...

Posté par
ZiYunre : Méthode de réduction de Gauss 18-02-19 à 14:03

Bonjour,

Je vous remercie pour votre aide lafol et carpediem. J'ai réussi à le faire.

Posté par
carpediemre : Méthode de réduction de Gauss 18-02-19 à 15:05

de rien


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