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méthode de tartaglia

Posté par
lou1100 24-10-23 à 14:31

Bonjour!
Cet exercice m'intéresse et je veux arriver au bout!
On souhaite résoudre l'équation (E) = z² -12z-8=0 d'inconnue z

1. Etude de la fonction f:
xx²-12x-8
En déduire le nombre de solutions réelles de l'équation (E)

2.(a) On chercher les solutions de l'équation (E) sous la forme z =u+v avec (u,v)². Montrer les équivalences suivantes:
(S1)\begin{cases} & \text{u +v est une solution de (E) } \\ & \text{ } uv= 4 \end{cases} \Leftrightarrow (S2)\begin{cases} & \text{ } u^3+v^3=8 \\ & \text{ } uv= 4 \end{cases} \Leftrightarrow (S3)\begin{cases} & u^3 \text{ et} v^3 \text{sont les racines du polynôme P} \\ & \text{ uv appartient à R} \end{cases}

P est un polynôme unitaire de degré 2 à déterminer. On démontrera toutes les implications qui définissent les équivalences ci-dessus.

b) Résoudre le système (S3) d'inconnue (u,v) 3. En déduire les solutions de (E)

Il y a une seconde partie mais qui est indépendante. J'enverrai la suite après car autrement cela est trop long.

Mes recherches :
1) Je dérive la fonction x et je trouve 3x^2 -12
J'obtiens les variations ;
La fonction f(x)' est positive de - à -2
négative de -2 à 2
positive de 2 à +

La fonction f(x) est croissante de  - à -2
décroissante de -2 à 2
croissante de 2 à +
(je n'ai pas réussi à faire un tableau avec LaTex)

Il y a deux solutions réelles.

2)Je bloque à ce niveau là.
Je ne vois pas comment démontrer les implications.

Je suis parti du fait que "u+v est un solution de (E)" et j'ai fait cela:

(u+v)^3 -12(u+v) -8=0 \\ (u+v)^3-12u -12v-8=0 \\ u^3+v^3+3uv(u+v)-12u-12v-8=0 \\ u^3+v^3+(u+v)-u-v-8=0 \\ u^3+v^3=8

Pour montre que uv=4
J'ai fait \frac{12}{3}
uv= -\frac{c}{3} avec c =12

Pour cette partie j'ai trouvé cela avec des recherches sur internet mais je ne sais pas si c'est ok.

Merci d'avance !
lou1100

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 24-10-23 à 15:06

Bonjour

Tu n'as pas vraiment expliqué ce que tu fais.
Pour montrer que (S1)\Longrightarrow (S2) tu dois supposer que u+v est solution et que uv=4 et en déduire que u^3+v^3=8 (uv=4) est supposé vrai.

Ensuite tu montres que (S2)\Longrightarrow (S3) et tu finis par (S3)\Longrightarrow (S1).

Il s'agit à chaque fois de calculs du genre de ce que tu as écrit, mais il faut les interpréter soigneusement.
I

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 24-10-23 à 15:47

Je me demande si il faut utiliser la technique où on cherche un couple (u;v) tels que par exemple S=u3 + v3 =8 (je pense qu'il faut faire un changement de variable ) et P=uv=4
(j'espère que vous me comprenenez)
On aurait un polynôme X²+8X+4=0.
Je pense qu'il faut utiliser cette technique pour un des systèmes.

Ce qui m'embête c'est comment montrer "uv=4"

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 24-10-23 à 16:30

En fait, la liste d'équations que tu as écrite finalise (S1) entraine (S2).

Je vais rédiger cette implication pour que tu voies ce qu'on attend:

Supposons (S1) vraie. Alors (u+v) est solution de (E). On a donc

(u+v)^3-12(u+v)-8=0

Mais (u+v)^3=u^3+v^3-3uv(u+v) et on a supposé que uv=4 . L'équation devient

u^3+v^3+12(u+v)-12(u+v)-8=0

donc u^3+v^3=8 et ceci finit de prouver (S2).

Ce sont tes calculs! J'ai beaucoup détaillé tu peux aller plus vite, mais il faut qu'à chaque instant ce soit clair ce que tu supposes et ce que tu montres.

Je dois partir, quelqu'un prendra ma suite.

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 24-10-23 à 18:01

Pour montrer (S2) entraîne (S3)
On suppose (S2) vraie.
u^3+v^3=8
Je ne sais pas quoi faire de ça.

En tentant de résoudre je crois avoir commencé la question 2b)
On pose S=u^3+v^3=8
P=uv=4
P^3=64=u^3 v^3
u'=u3 et v'=v3

S'=u'+v' = u^3+v^3=8
P'=u'v'=u^3v^3=64

On a le polynôme X²-S'X+P'=0

X²-8X+64=0
=-192 soit (83i)²

z1=\frac{8+8\sqrt{3}}{5}
z2=\frac{8-8\sqrt{3}}{5}

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 25-10-23 à 14:50


Pour (S2)\Longrightarrow (S3).

On suppose que u^3+v^3=8 et uv=4. Il est clair que uv\in\R. Après tu reprends la formule déjà utilisée.
(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=... et tu conclus.

Attention! J'ai refait l'étude de la fonction f(x)=x^3-12x-8. Le sens de variation est correct, mais il entraine l'existence de TROIS racines réelles! L'idée de considérer la somme et le produit pour trouver les racines est bonne.

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 25-10-23 à 20:30

On montrant que (S2)(S3) on retrouve la même chose que précédemment non? Je pense que c'est le but car on doit prouver des implications.
Pour ce qui est de l'étude de la fonction, je viens de recommencer et je trouve encore 2solutions.
Pouvez-vous m'éclairer ?

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 25-10-23 à 20:40

Je viens d'essayer de résoudre x<sup>3</sup>-12x-8 mais ce n'est pas comme ça qu'on trouve les racines normalement non?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 26-10-23 à 14:50

La fonction est-elle bien f(x)=x^3-12x-8\ ?.
Si oui, f'(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2) comme tu l'as bien vu et tu as les bons signes.
Alors f commence par croitre de -\infty jusqu'à f(-2)=8, donc une racine dans ]-\infty, -2[. Puis elle décroit de f(-2) à f(2)=-24, nouvelle racine dans ]-2,2[ et enfin elle croit de f(2) à +\infty, ce qui donne la troisième racine dans ]2,+\infty[.

Tu n'as pas une calculette qui trace des graphes de fonctions?

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 26-10-23 à 15:56

Oui c'est bien cette fonction! Je vois mieux.
Je n'ai pas pensé à utiliser ma calculatrice ou géogébra.

Je poste la suite ;

3) On applique une autre méthode de résolution de l'équation (E).
a) Soit . Linéariser cos3

b)On cherche les solutions de (E) qui peuvent s'écrire sous la forme z=acos avec a et : trouver a>0 pour que la proposition ( z solution de (E)) se ramène à la résolution d'une équation de la forme cos3 =c où c est une constante réelle.

c) Conclure et comparer les solutions obtenues avec celles de la question précédente.

Mes recherches :

a)

cos^3(\theta ) = cos(\theta)cos^2(\theta) \\ =\frac{1}{2}(cos(\theta)cos(2\theta)+cos(\theta)) \\ =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}(cos(\theta)+cos(3\theta))+cos(\theta)) \\ =\frac{1}{4}(cos(\theta)+cos(3\theta))+\frac{1}{2}cos(\theta) \\ =\frac{cos(3\theta)+3cos(\theta)}{4}

2)/

3)/

Merci d'avance pour la suite

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 26-10-23 à 16:00

C'est bon. Continue.

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 26-10-23 à 18:35

Il y a une histoire d'équation trigo pour la  question b) non?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 27-10-23 à 15:21

Oui, bien sur. Essaye!

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 27-10-23 à 15:50

Je sèche!
Je pense que la linéarisation de cos3 n'est pas là pour faire beau et qu'il faut l'utiliser!
Mais comment? Je ne sais pas...

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 27-10-23 à 16:09

Tu veux donc résoudre

(a\cos(\theta))^3-12a\cos(\theta)-8=0

et tu as calculé le cube du cosinus.
Remplace!

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 27-10-23 à 20:50

Je trouve a=\frac{32}{cos(3\theta)-45cos(\theta)}
Je pense que ce n'est pas juste

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 28-10-23 à 16:22

Tu interprètes mal ce que tu trouves.
Quand tu remplaces, tu trouves quelque chose du genre

m\cos(3\theta)+n\cos(\theta)+p=0.

On te demande d'annuler le coefficient de \cos(\theta).

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 28-10-23 à 20:56

Je ne comprends pas ce qu'est "m" et "n".
Est-ce que je dois remplacer a par \frac{32}{cos(3\theta)-45cos(\theta)} et ensuite annuler ce coefficient ?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:05

Tu as

(a\cos(\theta))^3-12a\cos(\theta)-8=\frac{a^3}{4}(\cos(3\theta)+3\cos(\theta))-12a\cos(\theta)-8

Tu cherches a pour que le coefficient de \cos(\theta) (après réduction) soit nul.

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:10

Comment le trouver?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:15

C'est une simple équation. Pourquoi tu n'écris pas?

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:31

\frac{a^3}{4}(cos(3\theta)+3cos(\theta))-12acos(\theta)-8=0
C'est cela?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:37

Maintenant tu mets ensemble les termes en \cos(\theta) et tu annules le coefficient.

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:51

\frac{a^3}{4}(cos(3\theta) + (3-12a)(cos(\theta))-8=0
J'ai commencé ça mais j'hésite avec le remplacement de (cos(3\theta)+3cos(\theta) par la linéarisation de cos^3(\theta)

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 15:59

C'est bien; Alors pour quel a le cosinus disparait?

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 16:18

\frac{a^3}{4}(cos(3\theta)+(3-12a)(cos(\theta))-8 =0 \\ \\ cos(3\theta)+(3-12a)(cos(\theta))=8 \\ \\ (3-12a) = \frac{8-cos(3\theta)}{cos(\theta)} \\ \\ -12a=\frac{8-cos(3\theta)-3cos(\theta)}{cos(\theta)} \\ \\ a=-\frac{8-cos(3\theta)-3cos(\theta)}{cos(\theta)}

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 16:20

Je ne comprends pas pourquoi tu n't arrives pas.

Regarde ce qui se passe pour a=1/4

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 16:35

Le membre (3-12a) sera nul

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 29-10-23 à 16:50

Bien sur et il te reste exactement ce qu'on t'a demandé en 3b).

Posté par
lou1100re : méthode de tartaglia 29-10-23 à 16:54

Je ne comprend pas d'où vient ce 1/4.
Pouvez-vous m'expliquer?

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 30-10-23 à 14:10

Le coefficient du cos est 3-12a et on veut l'annuler!

Posté par
Camélia Correcteurre : méthode de tartaglia 31-10-23 à 11:13

Rebonjour

J'ai refait les calculs et il y a une erreur.

(a\cos(t))^3-12a\cos(t)-8=a^3(cos(3t)/4-3a^3\cos(t)/4-12a\cos(t)-8=[a^3\cos(3t)-3a^3\cos(t)-48a\cos(t)-32]/4

donc pour faire disparaitre le cosinus on doit choisir a tel que

3a^3-48a=0

On trouve donc a(a^2-16)=0

L'énoncé précise bien qu'il faut choisir a > 0

Je serai absente quelques jours, mais avec ça tu dois pouvoir finir l'exo.


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