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méthode de travail pour prouver l'unicité d'un réel
J'ai un problème qui revient souvent et je ne sais jamais comment il faut faire.
Ma question est donc simple y a t'il une(des) méthode(s) pour prouver que quelques choses (en particulier un réel solution d'une équation) est unique et si oui la(les)quelle(s) ?
Merci de me répondre. 
édit Océane : niveau renseigné
Bonjour.
Ton problème est trop vaste pour pouvoir y répondre.
Propose nous quelques exemples concrets.
A plus RR.
ok l'exemple:
montrer qu'il existe un unique réel xn positif tel que fn(xn)= 0 et que xn
]0;1[
(fn(x)=-1+
xk et n
2)
Salut !
calcule la dérivé de ta fonction : elle est positive ! donc ta fonction est croissante (strictement) : f(0) =-1 <0 et f(1) = n-1 > 0 donc f admet au moins un zero entre 0 et 1 car f est continu (TVI ) et ce zero et unique car f est croissante.
ba la seul methode un peu géneral pour montrer que quelque cose est unique , c'est de supposer qu'il y en a deux et de montrer qu'ils sont egaux...
mais dans le cas des zéros d'une fonction réelles c'est pas adapté du tous : une étude de fonction qui va déterminer tous les zero est beaucoup plus efficace.
Dans le cas d'une fonction, on utilise très souvent le théorème des valeurs intermédiaires.
Ici, fn est polynômiale, donc continue et dérivable.
On remarque que f'n est positive sur l'intervalle I = [0,1] (somme de termes positifs).
Donc fn est croissante sur I.
Or, fn(0) = -1 et fn(1) = n - 1.
Donc, pour n supérieur ou égal à 2, fn réalise une bijection de [0,1] sur [-1,n-1].
Comme 0 est dans [-1,n-1], par le théorème des valeurs intermédiaires :
il existe un unique xn dans ]0,1[ tel que fn(xn) = 0.
A plus RR.
si la je suis en train de le faire il faut prouver quelle est monotone et quel converge vers L[0;1[ en montrant que fn+1(xn)supérieure à 0 mais jé du mal a trouver ke xn est monotone
en fait je ne comprend pas pourquoi xn est une suite alors que l'on viend de dire que xn été un réel positif
Il existe un xn pour chaque fn.
Pour voir un peu comment cela se passe, dessine f2, f3, ... grossièrement entre 0 et 1.
Tu sais que fn(0) = -1, fn(1) = n-1.
Ensuite tu remarques que fn+1(x) = fn(x) + xn+1.
Donc fn+1(x) fn(x).
A plus RR.
0 et n pair on a xn+1Tu étudies tes fn sur I = [0,1] et tu sais que 0 < xn < 1.
Remarque que fn+1(x) = fn(x) + xn+1
Donc : fn+1(x) > fn(x). (la courbe de fn+1 est au dessus de celle de fn).
Alors en remplaçant x par xn :
fn+1(xn) > fn(xn). Donc, par définition de xn :
fn+1(xn) > 0
comme fn+1 est croissante, cela veut dire qu'elle s'annule avant xn.
D'où : xn+1 < xn.
La suite (xn) est décroissante.
Comme elle est minorée par 0, elle converge vers une limite l positive.
A plus RR.
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