Bonjour ,

Une méthode :

On pose y = x' où x' = dx/dt

donc y' = x'' où x'' est la dérivée de x'

On est ramené à une équation du premier ordre :

y' + y = t + e^(-t)

1 ) On résout l'équation en y

2) Connaissant les solutions y , on calcule les solutions x

On trouve :

x = t^2/2 - t + C1 - (t + 1 + C2)*e^(-t) où C1 et C2 sont des constantes arbitraires

merci jean-émile, mais je dois utilisé la méthode que j'ai mentionné

1) On résout l'équation sans second membre x'' + x' = 0

L'équation caractéristique a pour racines : -1 et 0

Solution générale de l'équation sans second membre : xc = c1 + c2*e^(-t) (comme tu l'écris justement)

2) On cherche une solution générale de l'équation x'' + x' = t + e^(-t)

D'après le cours :

a) On considère l'équation avec second membre : x'' + x' = t

On cherche une solution de la forme x1 = a*t^2 + b*t + c

b) On considère l'équation avec second membre : x'' + x' = e^(-t)

On cherche une solution de la forme x2 = (A*t + B)*e^(-t)

c) Solution générale de l'équation x'' + x' = t + e^(-t)

x = c1 + c2 * e^(-x) + x1 + x2

Erratum

Lire :

Autre méthode

2) On cherche une solution particulière de l'équation x'' + x' = t + e^(-t)

je comprend plus ou moins là

* d²x/dt² + dx/dt = t + e^-t

**xc = c1 + c2 * e^-x

je prend donc t et je la met dans la solution particulière

xp= At


on dérive

t -> 1
1-> 0 c'est fini

on ajoute cela dans l'équation donc:

xp = At + B

on prend e^-t on l'ajoute dans l'équation... donc:

xp = At + B + C*e^-t

il y a exception car B et présent dans ** et e^-t aussi... donc on multiplie
par t

xp = At + Bt + C*te^-t


mais la réponse semble être

xp = At^2 + Bt + C*te^-t

mais question:

on a 3 élément A, B et C

dois-je multiplier par t tous les éléments précédent B et C...?