Bonjour j'ai juste un tout petit probleme dans un exo assez long et cela m'empeche de conclure, je vous donne l'énoncé complet ainsi que ce que j'ai fait et peut etre que quelqu'un sera en mesure de me donner la reponse.

Cette partie est consacrée a la recherche d'une valeur approchée par la methode du point fixe du nombre reel tel que est l'unique solution sur de l'equation :exp(-x)=x.

1) Cette question m'a fait verifier que : 1/e1 (ou e est exp(1))

2) On definit la fonction de vers nommée g telle que g(x)=exp(-x), et I l'intervalle [1/e;1]. On m'a fait montrer que g(I)I.
Il fallait aussi trouver un reel k ]0;1[ tel que pour tout x de I, |g'(x)|k.
Pour ma part si je ne me trompe pas, on a |g'(x)|=g(x) donc j'ai trouvé que comme g etait strictement decroissante sur I, on pouvait prendre k=g(1/e)=exp(-1/e), si quelqu'un pense que cela est faux n'hesitez pas a me le dire merci.

3)On considere la suite (y_n)_n0 de nombres reels telle que y₀=1 et pour tout n entier naturel, y_n+1=exp(-y_n).

a) On m'a fait verifier que quel que soit n, y_n I.

b) La c'est ici que je bloque, il faut demontrer que : n , |y_n-| kⁿ|1-|.
J'ai voulu faire par recurrence mais je coince apres l'hypothese, et c'est ici qu'il me faudrait de l'aide.

c) La suite (y_n) est elle convergente? Si oui quelle est sa limite?
La je sais que si sa limite existe, cette limite est mais comme la suite n'est ni croissante ni decroissante je n'arrive pas a expliquer pourquoi elle est convergente.

Voila la suite de l'exo c'est des approximation de resultats donc c'est surtout sur ces 2 dernieres que j'aurais besoin d'un petit coup de pouce, merci a ceux qui pourront me rendre ce service. A bientot