Bonjour,
Tu as fait une petite erreur de frappe pour g2..
L'idée c'est de trouvé une suite récurrente qui converge vers l tel que l^2=2.
Il faut donc trouver une suite telle que Un+1=f(Un) avec l=f(l) qui est une condition necessaire pour que la suite Un converge vers l (Théoreme du point fixe). Les 3 fonctions données dans l'exemple répondent à cette condition. Maintenant, cette condition ne suffit pas et il faut également que
|f'(l)|<1, et là seul g3 répond à cette condition. Si Uo appartient à un intervale contenant l tel que sur cet intervale elle soit contractante, alors elle converge vers l.

Bonjour,
être en dimension 1 signifie ici qu'on travaille sur la droite réelle (les variables sont des nombres réels). En dimension 2, on travaille dans le plan (R²), en dimension n, on est dans un espace à n dimensions (Rⁿ).
Mais restons en dimension 1...

Le premier but dans la méthode du point fixe est de trouver une fonction g telle que g(u)=u quand f(u)=0
Donc il suffit de pouvoir exprimer u en fonction de lui-même: dans notre exemple, f(x)=x^2-2, donc u^2 = 2. On cherche u=g(u), u=2/u convient par exemple.
Maintenant, pour g'(u):
g(x)=2/x
g'(x)=-2/x^2
donc g'(u)=-2/u^2, or u^2 = 2 car f(u)=0, donc g'(u)=-1

Quant au calcul des u_i;
on choisit arbitrairement u0, de préférence pas trop loin du point qu'on pense trouver (ici, par exemple, on choisit u0=1)
et ensuite on calcule les ui par récurrence avec u_n+1=g(u_n)

En traçant le graphe de g et de la première bissectrice, et en construisant la suite un (avec les 'escaliers'), on "voit" qu'il est suffisant que |g'(u)|<1 pour que la suite converge. La limite l vérifiera alors la relation g(l)=l (passer à la limite dans u_n+1=g(u_n))

En espérant avoir été un peu clair

on aurait pu aussi prendre u=2*u non?

Je ne comprends pas trop... On aurait pu prendre u=2*u pour ...? D'ailleurs c'est rare que u=2*u, ça ne marche que pour u=0

On cherche u=g(u), u=2/u

donc on aurait pas pu prendre u=2*u?

Je ne vois toujours pas trop ce que tu veux dire
On cherche une fonction g telle que:
pour x dans un certain intervalle.

Ici on a bien donc convient.
Mais si tu prends ça ne marche pas!

j'ai de la difficulté a voir comment on fait pour trouver le u

Bonjour,

J'espère que je ne vais pas tout embrouiller : il n'y a pas des x et des u. Soit tu appelles tout le monde x, soit tout le monde u. Oublie les u, et relis le message de la_brintouille ci-dessus.

Nicolas