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Méthode du point fixe
Bonsoir.
J'ai la fonction x=1/ exp(x) il m'est demandé de montrer que la suite Xn+1 = 1/exp(Xn) converge vers la seul racine x dans R.
Pour suivre la méthode du point fixe j'esseye d'abord, a travers le théoreme des valeurs intermediaire de démontrer qu'il existe, sur R, une solution unique.
g(x) = 1/ exp(x)
g'(x) = -1/exp(x)
exp(x) est toujours positive, donc -1/exp(x) est toujours négative sur R
donc la fonction g est strictement décroissante.
ensuite, lim de g(x) quand x tend vers moins l'infinie ça donne 1/0 = + infinie
et lim g(x) quand x tend vers + infinie donne zéro
ici ( lim g(x) qd quand x=-infini ) * ( lim g(x) qd quand x= +infini ) = 0 ( ? )
Le TVI est il déja vérifée ?
Ensuite, a partir de quel x zéro pourrais-je trouver ma racine ? faut il le chercher graphiquement ?
Si tu veux montrer qu'il y a un x au moins tel que x = 1/exp(x) il vaut mieux étudier g : x 
x - 1/exp(x)
C'est quoi un point fixe? C'est une solution à l'équation x = f(x)
En l'occurrence si tu prends que 1/exp(x) dans ton calcul ça va pas marcher
Justement, je pars du principe que dans l'énoncé, il n'ont pas donné la fonction a étudier mais directement la fonction qui nous permet de trouever la solution, car c'est écrit dans l'énoncé x=1/exp(x).
salut
J'ai la fonction x=1/ exp(x)
tu as la fonction f(x) = exp(-x)
et tu veux résoudre l'équation f(x) = x
donc comme on te l'as dit tu peux étudier la fonction g(x) = x - exp(-x)
....
Grosse bétise de ma part en effet, il faut simplement prendre une fonction g(x) = x- 1/exp(x) .
En dérivant on trouve g'(x) = 1+exp(-x) qui est strictement positive, donc g est croissante
la limite quand x tend vers + infini donne 1 et quand x tend vers - infini donne -infini
on peut donc appliquer le théorème des valeurs intérmediaire, il y'a bien une unique racine alpha.
Maintenant, comment choisir le x zéro qui convient pour trouver avec un minimum d'itération ma solution ?
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