salut

c'est une équation du premier ordre en y' ....

pose u=y', ça te donnera u'+3u=6t+1... c'est donc une équation du premier ordre en u !!

Green tu es génial; c'est dingue comme ç'a simplifie bien.

Par contre deux petites questions :

1) est ce cela qu'on appelle la méthode de la variation de la constante pour les équations du second ordre ?

2) on tombe sur une primitive de (6t+1)e^-3t que je n'aurais pas su trouver sans l'aide de la calculatrice; est ce normal ?

Merci encore pour tout.

Bonjour

remarquer que c'est du premier ordre en y' ne change pas grand chose sur la variation de la constante

ici, puisque tu as une équation du second ordre, il y a deux constantes à faire varier, c'est un peu plus délicat qu'au premier ordre


reprenons ton : f₀(x)=A+Be^-3x

tu vas donc poser , où A et B seront considérées comme fonctions, et plus comme constantes.

il y a ici une condition supplémentaire à retenir :

tu calcules alors y' (dont la moitié disparait du fait de cette condition), puis y", tu reportes dans ton équation complète, normalement tout ce qui est en A et B disparait, et il te reste une équation en A' et B'.
avec la condition supplémentaire, ça donne un système en A' et B', que tu résous, avant d'écrire les primitives des solutions trouvées.

y" + 3y' = 6 t + 1


y" + 3y' = 0 <==> y' = ke^-3t avec k réel

variation de la constante :: k = k(t)

y' = k(t)e^-3t ==> y" = [k'(t) - 3k(t)]e^-3t


on injecte dans l'équation <==> k'(t)e^-3t = 6t + 1 <==> k'(t) = (6t + 1)e^-3t

et comme le remarquait lafol une IPP permet de conclure ...

sinon un peu de réflexion nous amène cette stratégie :::

si f(x) = P(x)e^-3x alors f'(x) = Q(x)e^-3x  avec deg(P) = deg(Q) ...

on en déduit le système

f(x) = (at + b)e^-3x
f'(x) = (6t + 1)e^-3x


je préfère faire varier une constante et résoudre un système de deux équations à deux inconnues constantes que le contraire ...


il est même aisé de déterminer la suite des dérivées successives de f ...

je souhaitais juste lui montrer comment fonctionne la variation des constantes au second ordre, sans avoir à chercher un autre exemple qui ne se ramène pas à du premier ordre. Il est clair qu'en l'absence de terme en y, on pose u = y' avant de résoudre.

Bonsoir merci vraiment à tous pour votre aide; tout commence à devenir bien plus clair pour moi.

Pour poursuivre sur la méthode de la variation de constante que je souhaiterais bien comprendre sur cet exemple et que Lafol a très bien introduite; je trouve en reportant dans l'équation complète :

-3B'e^-3t=6t+1 ce qui conduit à B'= en prenant t comme variable

Par une intégration par parties j'arrive à B=(- t + )e^3x  (faut il écrire +Constante ?)

En remplaçant B par cette expression dans y=A+Be^-3t, j'obtiens y=A - t +   (1)

de A'+B'e^-3t=0 je peux calculer A'=2t+ et par suite A=t²+t  (faut il également écrire +Constante ?)

dans (1) cela devient y=t²-t +

ou faut il écrire y=t²-t + constante ?

Pourriez vouz m'aider à résoudre ces petites difficultés avec les constantes SVP ?

Je comprends maintenant que pour cet exemple la méthode de la variation des constantes n'est vraiment pas la plus adaptée.

Merci beaucoup Carpediem pour tes méthodes de résolution très fines;

cependant pour la seconde, je ne vois pas où tu veux en venir par le système :

j'ai simplement appliqué la méthode de la variation de la constante ... mais pour une équation différentielle du premier ordre en y' ...

lafol fait la même chose ... mais en considérant une équation du second ordre en y ... (d'où "variation de deux constantes") ....

remarquer que A' = 2t + 1/3 = (6t + 1)/3 ...

donc dans tous les cas on est amené à déterminer une primitive de 6t + 1 et

et de (6t + 1)exp(-3t) et le moyen que je te propose est que si

f(t) = (6t + 1)exp(-3t) alors une primitive est F(t) = (at + b)exp(-3t)

donc F'(t) = f(t) et on résout un système pour déterminer a et b ...

Merci beaucoup Lafol et Carpediem pour vos explications.

Tout est beaucoup plus clair maintenant.

Merci Carpediem pour ton astuce pour trouver ce type de primitive, c'a va me permettre de gagner beaucoup de temps par rapport à une IPP. Eventuellement si tu as d'autres astuces de ce type je suis preneur.

Encore merci pour tout.

ce n'est pas une astuce .... c'est le savoir ....

Bonjour,

J'étais absent ces derniers jours,

Voilà l'implication:
f(t)=(6t+1)e^-3t

Les primitives successives seront toujours de la forme F_k(t)=(at+b)e^-3t

ainsi F₀(t)=(-2t-1)^-3t
et F₁(t)=(2/3t-5/9)^-3t

est ce l'implication attendue ? Par ailleurs cela fonctionne parce que nous avons une fonction de type exponentielle.

Rebonjour,

en relisant les posts je m'aperçois que je ne comprends pas très bien la remarque de Lafol lorsqu'il écrit :

je laisse lafol répondre quant à sa proposition ...

pour ma part

F(t) = (at + b)e^-3t

F'(t) = (...)e^-3t = (6t + 1)e^-3t

....

Bonsoir Carpediem,

la dérivé de u.v est u'.v+u.v'

excuse moi mais je ne vois toujours pas...

peux-tu calculer F'(t) ? ...

Si F(t)=(at+b)e^-3t

alors F'(t)=ae^-3t-3(at+b)e^-3t=(a-3b-3at)e^-3t

avec l'exemple précédent si F(t)=(6t+1)e^-3t

on arrive à F'(t)=3(1-6t)e^-3t

et F"(t)=27(-1+2t)e^-3t

et F₃(t)=27(5-6t)e^-3t sauf erreur de ma part,

je n'arrive toujours pas à voir quelle implication tu veux parler.

Merci

il est malheureux de ne pas lire correctement le posts .....

peux-tu me rappeler quelle est la question ?

Bonsoir Carpediem, ne m'en veux pas si j'ai du mal à comprendre

Voici ta proposition :

pour ma partie des questions : déjà même si je n'ai pas mis deux l et e à la fin de mon pseudo, c'est pas il mais elle

ensuite, triangulaire, oui, en référence à la matrice associée, donc une des équations avec une seule des inconnues, la deuxième avec en plus la deuxième inconnue.
ça vient de ce qu'ici, la solution de l'équation sans second membre s'écrit A fois une fonction constante (1, en l'occurrence) + B fois une fonction. Du coup quand on remplace après avoir dérivé deux fois, les A' disparaissent.

alors relis ce que j'ai écrit ....

et fais attention au prime de dérivation ...

Le prime de dérivation semble être sur la primitive non ?

Cependant cela ne me fait pas trop avancer.

La dérivée de F(t)=(at+b)e^-3t est bien F'(t)=(a-3b-3at)e^-3t non ? alors effectivement après on arrive à un système mais à priori ce n'est pas là que tu voulais en venir.

J'ai vraiment du mal.

bon et bien écrit que F'(t) = f(t) = (6t + 1)exp(-3t) et résous le système en a et b ....

Il me semble que c'est que j'ai déjà fait, on arrive à a=-2 et b=-1

soit F(t)=(-2t-1)e^-3t

et si on poursuit avec la même méthode : et F₁(t)=(2/3t-5/9)e^-3t

Merci pour ta réponse et excuse moi pour le changement involontaire de sexe;

Pourrais tu STP me montrer cette matrice triangulaire associée ?

Merci d'avance.

Je tenais à vous remercier à tous les deux pour vos explications très claires sur la question que je posais.

En fait pour tout vous dire, je ne suis pas en classe spé normale, je suis une formation interne pour me préparer au concours d'ingénieur territorial de la fonction publique. Le cours du prof est assez condensé et on ne le voit qu'une fois tous les quinze jours ce qui explique pourquoi j'ai pas mal besoin d'aide entre chaque cours et qu'on a pas le temps de rentrer dans les détails avec lui. Donc encore Merci...

Juste pour Carpediem; pourrais tu me dire STP où tu voulais en venir avec ton implication car je ne suis pas certain d'avoir bien compris. Bonne soirée.

si f(t) = P(t) e^kt avec k constante (non nulle) et P polynome de degré n alors

f'(t) = [kP(t) + P'(t)] e^kt Q(t) e^kt


donc ... deg(Q) = deg(P) ....

manque un = Q(t) ....


il en de même en "primitivant" ....

D'accord, merci beaucoup.

de rien et au plaisir