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mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée

Posté par
mathchim 04-04-17 à 14:13

Bonjour,

Déterminer la forme développée , la forme canonique et la forme factorisée de la fonction suivante :

f(x) = 2 x^{2} - 2 x- 4

1 ) ) la forme développée , en fait c 'est celle qui est proposée dans l 'énoncé , je peux mettre 2 en facteur

f(x) = 2 x^{2} - 2 x- 4 = 2 \left(x^{2} - x - 2 \right)

2 ° ) la forme factorisée :
\left(x^{2} - x \right) = x ^{2} - 2 \times \frac{x}{2} est le début de développement de x ^{2} - 2 \times \frac{x}{2} + \frac{1}{2}^{2} = \left(x - \frac{1}{2} \right)^{2}

j 'introduis de force la constante \left(\frac{1}{2} \right)^{2} que je retire ensuite

x^{2} - 2\times\frac{x}{2} + \left(\frac{1}{2} \right)^{2} - \left(\frac{1}{2} \right)^{2}
ce qui donne :
f(x) = 2\left(\left( x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4} - 2 \right)

f(x) = 2\left(\left( x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4} - \frac{8}{4} \right)


3 ° ) la forme factorisée :
il faut calculer le delta et ensuite mettre sous la forme a \left(x - x_{1} \right)\left(x - x_{2} \right)
c 'est cela ?
Pouvez vous m 'aidez ? s 'il vous plait

Posté par
Cherchellre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 14:42

tu n'as pas terminé ta forme canonique :

f(x)=2((x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4})

et là tu peux utiliser les identités remarquables sans passer par
tu vas trouver f(x)=2(x+1)(x-2)

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 21:19

Bonsoir ,

J 'ai une autre fonction polynôme x \mapsto f(x) = 4\left(x -3 \right)^{2} - 5
je dois ouvrir une autre discussion ou je peux la proposer dans le même fil

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 21:47

Bonsoir,

Si les questions sont les mêmes, donne les trois formes, on te dira...

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 21:59

Bonsoir

x\mapsto f(x) = 4 - \left(x - 3 \right)^{2} + 5

est de la forme f(x) = a\left(x - \alpha \right)^{2} +\beta avec a \in \mathbb{R}^{*} ; \alpha \in \mathbb{R} et \beta \in \mathbb{R}

il faut développer pour avoir la forme développée ??

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 22:32

Citation :
il faut développer pour avoir la forme développée ??

et factoriser pour avoir la forme factorisée

Attention ta fonction est mutante....
à 21h19 tu dis
Citation :
x \mapsto f(x) = 4\left(x -3 \right)^{2} - 5

et
à 21h59 tu indiques
Citation :
x\mapsto f(x) = 4 - \left(x - 3 \right)^{2} + 5

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 22:42

Bonsoir ZEDMAT

il s 'agit bien de f : x\mapsto 4 \left(x - 3 \right)^{2} - 5

je développe :
f : x\mapsto 4 \left(x - 3 \right)^{2} - 5 = 4 \left(x^{2} - 6x + 9 \right) - 5 = 4x^{2} - 24x + 29
et je retrouve la forme développéeax^{2} + bx + c avec a\in \mathbb{R}^{2} ; b\in \mathbb{R} et c\in \mathbb{R}

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 04-04-17 à 23:06

36-5 = ??? pas 29 !!

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 00:24

oui 31 pas 29

pour avoir la forme factorisée

P(x) = a \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta }{4a^{2}} \right)

si \Delta > 0on reconnaitre alors la forme :

A^{2} - B^{2} : ax^{2} + bx + c = a \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right)^{2}\right)

qui se factorise :
ax^{2} + bx + c = a \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{2a} \right)^{2}\right) =   a \left( x + \frac{b}{2a} - \frac{\Delta }{2a}\right) \left(x + \frac{b}{2a}+ \frac{\Delta }{2a}\right)
ax^{2} + bx + c a deux racines réelles x_{1} et x_{2}
et ax^{2} + bx + c = a(x -x_{1} ) (x + x_{2})

il faut calculer le delta de 4x^{2} - 24x + 31  pour avoir la forme factorisée ??

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 13:55

J'ai l'impression que tout cela n'est pas clair dans ton esprit. Tu cites des morceaux de cours (fort bien) mais la question qui suit, montre que tu n'as pas bien assimilé ce morceau de cours....

Je crains que tu ne confondes forme canonique et forme factorisée (voir ton premier message).

Forme développée : ax²+bx+c

Forme canonique :   a \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta }{4a^{2}} \right)

Forme factorisée (si elle existe soit si 0) : a(x -x_{1} ) (x + x_{2})

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 14:20

Pour illustrer mon message précédent, je reprends ton premier exercice.
On te donne

f(x) = 2 x^{2} - 2 x- 4 qui est de la forme  ax^{2} + bx + c donc C'EST LA FORME DÉVELOPPÉE

La forme canonique peut s'obtenir en utilisant la formule suivante : \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta }{4a^{2}} \right)  
avec \Delta =b²-4ac
Puisque a =
b=
et c=
alors =
donc f(x) =2[(x+(-2)/(2*2))² - 36/(4*4)]
f(x) = 2[(x-1/2)²- 9/4] qui est la forme canonique.

Puisque 0, on peut factoriser f(x).
2 méthodes :
a) on calcule x1 et x2 et on applique la formule  f(x) = a(x-x1)(x-x2)
b) si 0, la forme canonique est une différence de 2 carrés [9/4 = (3/2)²] d'où l'écriture sous forme d'un PRODUIT de facteurs...
f(x) = 2[(x-1/2-3/2)(x-1/2+3/2)
........= 2(x-2)(x+1) qui est la FORME FACTORISÉE

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 15:25

Bonjour ZEDMAT

merci beaucoup pour tes explications
f(x) = x^{2} - 2x - 4 est de la forme ax^{2} - bx + c avec a\in \mathbb{R}^{*} ; b\in \mathbb{R} etc\in \mathbb{R}

on met a en facteur comme a est différent de 0
puis on arrive à cette étape :
f(x) = ax^{2} + bx + c = a\begin{bmatrix} \left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}
(je ne recopie pas toutes les étapes qui aboutissent à  ce résultat )
ensuite je pose \beta =-\frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}
et
\alpha = \frac{b}{2a}

alors , f(x) = a \left(x - \alpha \right)^{2} + \beta avec a\in \mathbb{R}^{*} ;\alpha\in \mathbb{R} et \beta\in \mathbb{R}


pour f(x) = 2x^{2} - 2x - 4

j 'ai mis 2 en facteur
pour avoir :  f(x) = 2x^{2} - 2x - 4 = 2 \left(x^{2} - x - 2 \right)

je dis que : x^{2} - x = x^{2} - 2\times\frac{x}{2} = x^{2} - 2\times\frac{1}{2} x

f(x) = 2 [x^{2} - x - 2 ] = 2[\left(x - \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{4} - 2]
f(x) = 2 [x^{2} - x - 2 ] =  2 [\left(x - \frac{1}{2} \right)^{2} -\frac{1}{4} - \frac{8}{4} ]= \left(x - \frac{1}{2} \right)^{2} - \frac{9}{4}

dans ton message , tu calcules la forme canonique de cette façon
f(x) = 2 \begin{bmatrix} \left(x + \frac{(-2)}{(2\times2)} \right)^{2}- \frac{36}{(4\times4)} \end{bmatrix}
je ne comprends pas ta méthode
Peux tu me l ' expliquée ? s 'il te plait

Posté par
ZEDMATre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 16:39

Citation :
dans ton message , tu calcules la forme canonique de cette façon
f(x) = 2 \begin{bmatrix} \left(x + \frac{(-2)}{(2\times2)} \right)^{2}- \frac{36}{(4\times4)} \end{bmatrix}
je ne comprends pas ta méthode


Dans la formule générale de la forme canonique
ax^{2} + bx + c = a\begin{bmatrix} \left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} \end{bmatrix}
je remplace tout simplement a, b et c par leurs valeurs.

C'est ce que j'avais écrit :
Citation :
La forme canonique peut s'obtenir en utilisant la formule suivante : \left(\left(x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{\Delta }{4a^{2}} \right)     \\ avec \Delta =b²-4ac
Puisque a =2
b=-2
et c=-4
alors  = 4-4(2)*(-4) =36
donc f(x) =2[(x+(-2)/(2*2))² - 36/(4*4)]
f(x) = 2[(x-1/2)²- 9/4] qui est la forme canonique.

Posté par
mathchimre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 17:24

Bonjour ZEDMAT

Ok , j 'ai compris
en fait , avec cette dernière méthode , on n 'a pas besoin de rechercher (x^{2} - xest le début de développement d 'une identité remarquable \left(x +\frac{1}{2}\right)^{2}
et c'est comme cela que le professeur nous a appris au tableau

il y a un autre polynôme f : x\mapsto x^{2} + \sqrt{3x} - 6
est ce que je peux le proposer ?

Posté par
malou Webmasterre : mettre la fonction sous forme canonique et forme factorisée 05-04-17 à 17:28

mathchim, nouvel exercice, ouvre un nouveau sujet
merci
(modérateur)


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