Ton exo c'est tout simplement la transformation d'Abel et le critère de convergence d'Abel... On trouve toute les démonstrations dans un bon bouquin de deug ou prépa traitant des séries.

Quand à la dernière partie, c'est pas difficile : travail avec l'exponentielle complexe, t'obtiens une série géométrique dont tu sais calculer la somme des éléments. Ensuite, un peu de calcul : factorise le numérteur par exp(i*(n+1)/2) et le dénominateur par exp(i/2) tu feras ainsi apparaître des sinus au numérateur et dénominateur (formule d'Euler).
Ensuite, t'identifie partie réelle et partie imaginaire et seulement maintenant, tu prends la valeurs absolue et tu majores le cos et le sinus par 1. D'où ta majoration.

Ensuite, le plus dur est fait, t'applique Abel... et c fini ! Bon courage !

Merci beaucoup de ton aide precise et precieuse !