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Niveau Maths sup
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minimal d'un ensemble

Posté par
kairouan
26-01-09 à 20:15

bonsoir à tous et à toutes,
quelqu'un pourrait il m'expliquer quelle est la différence entre un minimal et un minumum d'un ensemble.
Quel est l'intêret d'un minimal ?

voici la définition d'un minimal:
un minimal de A (une partie non vide de E (ensemble)) est (s'il existe) un élément ml de E tel que
ml   A
x A (xml ) (x = ml )

merci beaucoup

Posté par
1 Schumi 1
re : minimal d'un ensemble 26-01-09 à 20:30

Salut

Les minimums se réfèrent à des ordres totaux ils me semblent... donc en particulier un minimum est un élément minimal mais réciproque fausse.

Posté par
Nightmare
re : minimal d'un ensemble 26-01-09 à 20:32

Bonsoir,

La différence entre un minimal et un minimum réside dans les éléments non comparables.

Un élément est minimal s'il est inférieur à tous les éléments auxquels il peut être comparé.

Un élément est un minimum s'il est inférieur à tous les éléments (ce qui sous-entend qu'on peut le comparer à tous les éléments).

On prend par exemple l'ensemble {0,2,4,7,8} munit de la divisibilité.

2 est minimal, en effet il divise 0,4 et 8 et ne peut être comparé à 7.
2 n'est alors pas un minimum puisqu'on 2 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 2.

Maintenant on prend l'ensemble {0,1,2,4,7,8}, alors 1 est un minimum.

Tu remarques qu'un minimum est forcément un minimal (l'inverse n'étant pas vrai comme on vient de le voir) et que lorsque la relation d'ordre est totale, les deux notions coïncident.

Posté par
kairouan
re : minimal d'un ensemble 26-01-09 à 20:39

merci beaucoup nightmare
une fois de plus, j'y vois beaucoup plus clair avec tes explications et tes exemples !
bonne soirée



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