Excusez-moi, j'ai inversé les termes minoration et majoration. Le minimum est bien majoré mais pas encore minoré.

Bonjour,

Juste une piste que je n'ai pas testée ; ça ne fonctionne peut-être pas.

Intuitivement ça me paraît effectivement plein de bon sens que de proposer une permutation sous forme de "tronçons renversés" de longueur 2ⁿ pour minimiser la quantité.

Ensuite, on dirait qu'on peut prouver par récurrence que la somme est supérieure au membre de droite, et que le minimum est atteint avec la configuration que tu proposes.
* L'initialisation paraît simple.
* Si c'est vrai pour n, alors il y a deux cas :
  1- Soit n+1 n'est pas une puissance de 2, auquel cas la conclusion me semble rapide puisque le membre de droite ne bouge pas, et qu'on a plus de termes positifs ou nuls à sommer qu'auparavant (donc on ne peut qu'être plus grand que dans le cas "n").
  2- Soit n+1 est une puissance de 2 et là je dirais qu'il faut partir du cas minimal supposé dans l'hypothèse de récurrence et vérifier que ça fonctionne, et ensuite voir ce qui se passe si on échange le terme "n+1" (qui est une puissance de 2) avec un terme d'un autre "tronçon renversé" pour montrer qu'on ne peut que augmenter la quantité.