bonsoir,

je pense qu'il faut distinguer 2 cas :a<0 et a>0.

puis procéder par encadrement:

0<x<1 ....

a voir

a+

Salut !


que dirais tu rechercher les points ou la dérivé s'annule ?

Bonjour !

Oui, effectivement, j'ai oublié de préciser que a>0, scuzez-moi.
En attendant d'autres idées, je vais essayer avec la méthode de xunil.
Si jamais je trouve, je vous préviens.

dans ce cas c'est direct

0<x<1

puis  : +oo>1/x>1 => a<a/x<+oo

en additionnant membre à membre on obtiens:

a<g(x) donc le minimum sur  ]0;1[ vaut a.

Ce n'est pas parce que g(x)>a pour tout x]0;1[ que c'est le minimum : c'est seulement un minorant.
Le minimum est le plus grand des minorants

Voici l'idée que j'ai en tête et qui peut amener à la solution.


Supposons que le minimum m de la fonction définie sur soit atteint en x₀.
(x₀ existe grâce à la continuité et aux limites infinies aux bornes de l'intervalle ; ce qui n'est pas forcément le cas pour g)
Alors :


On doit donc avoir, pour tout :


Le discriminant du trinôme vaut :


Si >0 alors pour tout x compris strictement entre x₀ et a/x₀ (peu importe leur ordre) on aurait P(x)<0   (signe d'un trinôme entre ses racines), ce qui est en contradiction avec la relation écrite en rouge.

Donc =0, c'est-à-dire :    
On ne s'intéresse qu'aux valeurs positives, donc


Donc, le minimum de la fonction est atteint en a et vaut alors m=2a

Conclusion :
Si 0 < a < 1 alors g admet le même minimum que .
Si a > 1 le minimum de la branche de parabole d'équation y=P(x) comprise entre x=0 et x=1 est atteint pour x=1 et vaut 1+a.
Comme g n'est pas définie en 1, dans ce cas elle n'admet pas de minimum.

Il faut mettre tout ça en forme et une solution claire et simple en sortira peut-être

Alors, je crois avoir à peu près compris, si ce n'est que je ne vois pas ce qu'est la fonction , et qu'il me semble que le discriminant est plutôt .

En tout cas, la réponse trouvée est la bonne, c'est-à-dire .

g(x) = x + (a/x) sur ]0 ; 1[ avec a > 0

g'(x) = 1 - a/x²
g'(x) = (x²-a)/x² = (x-Va)(x+Va)/x²

(x+Va)/x² > 0 sur ]0;1[ --> f '(x) a le signe de x-Va

Si a < 1, alors il y a un min de f(x) pour x = Va, ce min vaut alors g(Va) = 2.Va

Si a >= 1, alors g'(a) < 0 sur ]0 ; 1[ et g(a) est donc décroissante sur cet intervalle.
Dans ce cas, le min de g(x) est lim(x->1) g(x) = a+1
-----
Sauf distraction.  

Merci !

Bonjour à tous !

Merci J-P de venir nous aider
Ton message soulève 2 remarques :
1/ l'énoncé stipulait de ne pas faire d'étude de fonction pour établir le résultat. Ta méthode ressemble fort à une étude de fonction
2/ Je croyais que l'on parlait de minimum m lorsque la valeur m était atteinte (par opposition à la borne inférieure qui,elle, n'est pas nécéssairement atteinte). C'est la raison pour laquelle 1+a serait la borne inférieure de la fonction g (quand a>1) sans pour autant être un minimum.

Je profite (et abuse ) de ta présence sur ce topic pour te poser une question : au début de ma "démonstration", j'ai justifié maladroitement que ma fonction     admettait un minimum. N'y aurait-il pas un théorème (genre Rolle, mais sur les intervalles ouverts et n'utilisant que la continuité) qui exprimerait proprement cette idée.  

D'avance merci.

lexou1729

Tu ne poses pas tes questions à la bonne personne.

Je fais des maths de terrain et ne m'occupe guère des subtilités de certaines notions comme celles qui te préoccupent très justement.

Les définitions de ces notions diffèrent de pays à pays et donc je ne sais pas si le cas de a >= 1 pour lequel la fonction est monotone sur ]0;1[ et l'intervalle étant ouvert, si on peut ou non parler du min de g(x) dans ce cas là.

Ces subtilités sont très certainement très "regardées" par les mathématiciens théoricien smais sont sans intérêt pour les mathématiques de terrain.

Attendre donc l'avis avisé de certains autres internautes.
Kaiser, Otto ou d'autres.

Désolé de ne pas pouvoir en dire plus.


  

Pas de problème J-P.

Tu auras certainement d'autres occasions de me venir en aide.

Je profite de l'occasion pour te remercier, ainsi que toute l'équipe de l'île, pour votre travail sur ce site (faut que je pense au livre d'or ...).

À bientôt


Alexandre

Coucou
-->clemboss
le discriminant vaut :

Soit :

C'est-à-dire :

D'où finalement :


J'avais sauté quelques étapes pour faire croire que ma solution était courte

lexou,
pour justifier proprement l'existence du minimum de sur , tu utilises simplement que est continue et de limites aux bornes .
Avec la définition de la limite, pour tout , il existe tel que . Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de compacité de Heine (une fonction continue sur un fermé borné non vide a un minimum): a un minimum sur , qui est aussi un minimum sur .

HEINE c'est ça !!!!!

Merci Dremi !


Alexandre

bonsoir à tous
j'ai une autre solution  niveau seconde!

g(x)=x+a/x=X+Y en posant x=X et a/x=Y  on a p=XY=a on cherche donc à minimiser la somme  s=X+Y sachant que le produit XY=a
X et Y sont solutions z²-sz+p=0  cette équation a des solutions réelles si s²-4p0,
on a donc minimun si s=2a et l'on a alors X=Y=s/2=a mais X=x]0,1[ donc cela impose 0<a<1
donc il y a bien un minimun  pour g seulement si 0<a<1 et c'est 2a

c'est un peu le problème" trouver parmi les rectangles de surface donnée celui de périmètre minimun"