Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Minimum et maximum de sin(x)exp(-x)

Posté par
HouseMusic 05-01-23 à 20:09

Bonsoir à tous,

Pourriez-vous m'aider à trouver le minimum et maximum de \sin (x)e^{-x} ?

Si on dérive on obtient la fonction e^{-x}\left( \cos (x)-\sin (x)\right) avec laquelle on ne peut rien déduire.

On pourrait encadrer : -\frac{1}{e^{-x}} \leqslant \frac{\sin x}{e^{-x}} \leqslant \frac{1}{e^{-x}} mais là aussi comment en tirer une conclusion ?


Merci pour votre aide les collègues

Posté par
carpediemre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 20:19

salut

il serait bien de poser : f(x) = ...

f'(x) = ...

il est facile de déterminer le signe de cos x - sin x :

diviser par \sqrt 2 et reconnaitre cos (a b) ou sin (a b)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 21:01

Bonjour

Si on note (comme le suggère carpediem) \Large\boxed{f(x)=\sin(x)e^{-x}},

on a pour tout entier naturel n, \Large\boxed{f(\frac{\pi}{2}-2n\pi)=e^{2n\pi-\frac{\pi}{2}}~~,~~f(-\frac{\pi}{2}-2n\pi)=-e^{2n\pi+\frac{\pi}{2}}}

et donc f n'est ni majorée ni minorée sur \mathbb R sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
HouseMusicre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 21:57

Je ne vois pas comment on pourrait reconnaitre cos(a±b ou sin(a±b)

Excusez je n'avais pas défini l'intervalle d'étude dans mon post : il s'agit de trouver les extrema sur I=\left[0 \right;2\pi].

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 22:13

Tu peux commencer par résoudre l'équation \boxed{\cos(x)=\sin(x)} sur \boxed{[0,2\pi]}

Posté par
HouseMusicre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 22:36

Ok j'ai :

1/ On dérive f(x)=\sin(x)e^{-x}

2/ On obtient : e^{-x}\left( \cos (x)-\sin (x)\right)

3/ On résout \cos (x)- \sin (x) sur [0,2\pi]

4/ \cos (x)- \sin (x) est positif sur \left[0 \right;\frac{\pi }{4}], négatif sur \left[\frac{\pi }{4} \right;\frac{5\pi }{4}], positif sur \left[\frac{5\pi }{4} \right;2\pi]

5/ Donc le maximum de \sin (x)e^{-x} sur [0,2\pi] est \frac{\pi }{4} et le minimum est \frac{5\pi }{4}


Merci pour votre aide !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 05-01-23 à 23:03

5/ Le maximum est atteint en \frac{\pi}{4} et vaut \sin(\frac{\pi}{4})e^{-\frac{\pi}{4}} et le minimum est atteint en \frac{5\pi}{4} et vaut \sin(\frac{5\pi}{4})e^{-\frac{5\pi}{4}}

Posté par
HouseMusicre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 06-01-23 à 06:21

Oui merci de rectifier j'ai pas fais attention à ce que j'écrivais

Posté par
carpediemre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 06-01-23 à 10:20

comme je le disais :

\cos x - \sin x = \sqrt 2 \left( \dfrac 1 {\sqrt 2} \cos x - \dfrac 1 {\sqrt 2} \sin x \right) = \sqrt 2 \cos \left( x + \dfrac \pi 4 \right) = \sqrt 2 \sin \left( x - \dfrac \pi 4 \right)

il est alors aisé de déterminer le signe de la dérivée

je rappelle que la nullité ne donne pas le signe ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 06-01-23 à 16:14

Une fois résolue l'équation \boxed{\cos(x)=\sin(x)} sur l'intervalle \boxed{[0,2\pi]}, on obtient \boxed{S=\left\{\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right\}} pour ensemble solution.

On sait alors que la fonction continue \boxed{\varphi:x\mapsto\cos(x)-\sin(x)} garde un signe constant sur chacun des intervalles

\boxed{\left[0,\frac{\pi}{4}\right]}, \boxed{\left[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right]} et \boxed{\left[\frac{5\pi}{4},2\pi\right]}. Une valeur particulière prise par \varphi sur chacun de ces intervalles y détermine son signe.

\boxed{\varphi(0)=1>0}, \boxed{\varphi(\frac{\pi}{2})=-1<0} et \boxed{\varphi(2\pi)=1>0} sauf erreur bien entendu

Posté par
alb12re : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 06-01-23 à 19:16

Salut,
@elhor_abdelali
je suis curieux, pourquoi encadres-tu tes formules latex ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Minimum et maximum de sin(x)exp(-x) 07-01-23 à 17:04

Bonjour alb12

A vrai dire je ne sais pas ! Peut être pour les rendre plus lisibles


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !