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Minimum var

Posté par
Theo92 27-03-21 à 19:52

Bonjour,
je vous donne l'énoncé sur lequel je bute.

Soit 2 var indépendantes   X_1 , X_2   suivant une loi exponentielle de paramètres  \lambda_1, \lambda_2  positifs sur un espace  (\Omega,F,P).
On pose  Y(\omega)=min(X_1(\omega), X_2(\omega))  et  A_i= \{\omega : Y(\omega) = X_i (\omega)\}
1) donner  P(A_1\cap A2)
2) On pose la var  N(\omega)= l'indice i sur lequel est atteint le minimum  Y(\omega).  On a   N(\omega)=1 \times \mathds{1}_{A_1} (w) + 2 \times \mathbbm{1}_{A_2} (w)

Il faut donner sans calcul   P(w: N(w)=3)  et  P(w: N(w)=0)  et pour  x \geq 0   calculer  P(w: N(w)=1, Y(w) \geq x)  et  P(w: N(w)=2, Y(w) \geq x)

3) En déduire  P(w: Y(w) \geq x),  la loi de Y,  et  P(w: N(w)=1)

Pour la 1),
on a   A_i = \{Y = X_i \}.  donc  A_1 \cap A_2 = (Y = X_1) \cap (Y=X_2)  et avec l'indépendance
  P(A_1 \cap A_2) = P(Y = X_1) \times P(Y=X_2)=P(A_1) \times P(A_2)  ????
Je ne sais pas si je formule bien
je bloque sur la suite.

Merci par avance pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Minimum var 27-03-21 à 22:00

salut

1/ ça me semble bon

2/ 3 = 1 + 2 et que vaut 1_{a_1}(w)  ?

Posté par
Theo92re : Minimum var 27-03-21 à 22:46

Bonsoir et merci carpediem.

On a  N(w)=3  si w est tel que  Y(w)=X_1(w)  et  Y(w)=X_2(w),  soit que  Y(w)=X_1(w)=X_2(w)  donc  P(w: N(w)=3)=P(A_1 \cup A_2) ???

Par suite   P(w: N(w)=0)=P[(A_1 \cup A_2)^{c}]=1-P(A_1 \cup A_2)???

Si cela est correct, je n'arrive pas à traduire la suite de la question, les calculs et la loi de Y

Merci pour votre aide.

Posté par
Theo92re : Minimum var 27-03-21 à 23:59

On connait la densité et la fonction de répartition de  X_i.

On peut déduire la fonction de répartition de Y. J'écris

min(X_1,X_2) \leq x  ssi  X_1\leq x  et  X_2\leq x,  d'où

F_Y(x)=P(Y \leq x) = P((X_1 \leq x) \cup (X_2 \leq x))........
Je trouve pour finir  F_Y(x)=1- e^{- \lambda_1 \lambda_2 x}   si  x>0  et 0 sinon
La densité est donc  f_Y(x) =  2 \lambda_1 \lambda_2 e^{- \lambda_1 \lambda_2 x}  pour x dans  \mathbb{R_+}

Cela peut me permettre de faire les calculs de la suite de l'exercice, mais je ne parviens pas à interpréter les questions.
Calcul de   P(w: N(w)=1, Y(w) \geq x)  et  P(w: N(w)=2, Y(w) \geq x) \\    puis  P(w: Y(w) \geq x)   et   P(w: N(w)=1)

Merci par avance.

Posté par
Theo92re : Minimum var 28-03-21 à 15:30

Je reprends cet exo, et je crois que je me suis trompé.

On aurait plutôt  P(w: N(w)=3)=P(A_1 \cap A_2) ???

N(w)=0  signifie que  \mathbbm{1}_{A_i} est nul pour i = 1,2 soit que  w \notin A_i  d'où  P(w: N(w)=0)=P[(A_1 \cup A_2)^{c}]=P(A_1^{c} \cap A_2^{c})  ???

Pour la suite,  \{w: N(w)=i, Y(w) \geq x\}=\{X_i(w) \geq x \}  ???

On utilise les fonctions de répartition pour calculer  P(X_i \geq x)  ???

D'où  P(X_i \geq x)= \int_{x}^{+ \infty} f_i(t)dt ??

Posté par
carpediemre : Minimum var 28-03-21 à 19:12

ok pour P({w / N(w) = 3})

pour p = P({w / N(w) = 1 et Y(w) > x})

N(w) = 1 signifie que Y(w) = X_1(w) est le minimum

si x > X_1(w) alors p = 0
sinon p = P( v / X_1(w) < X_1(v) < x) = ... intégrale de la fonction de répartition de X_1 entre X_1(w) et x ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
carpediemre : Minimum var 28-03-21 à 19:15

pardon j'ai fait une erreur ...

carpediem @ 28-03-2021 à 19:12

ok pour P({w / N(w) = 3})

pour p = P({w / N(w) = 1 et Y(w) > x})

N(w) = 1 signifie que Y(w) = X_1(w) est le minimum

si x > X_1(w) alors p = 0
sinon p = P( v / x < X_1(v) < X_1(w)) = ... intégrale de la fonction de répartition de X_1 entre x et X_1(w) ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
Theo92re : Minimum var 28-03-21 à 19:15

Merci beaucoup carpediem.
J'ai déroulé ainsi pour je pense bien finir l'exercice.
Bonne journée.

Posté par
carpediemre : Minimum var 28-03-21 à 19:57

merci et à toi aussi

Posté par
Theo92re : Minimum var 28-03-21 à 20:18

J'ai un autre exo. Si je pouvais avoir un petit coup de main.

On a une suite de v.a X_n de loi de Bernoulli de paramètres p_n
On note  B_{k}^{1}=(w : X_{k}(w)=1  respectivement  B_{k}^{0}=(w : X_{k}(w)=0
1) On a donc  P(B_{k}^{1})=p_k  et  P(B_{k}^{0})=1 - p_k
2) On définit A_0 par l'événement pour lequel à partir d'un certain n, toutes les v.a prennent la valeur 0
Comment s'écrit A_0 en termes d'union et intersection de  B_{k}^{0}=(w : X_{k}(w)=0  ????
De même pour  A_{0}^{c}   en termes d'union et intersection de  B_{k}^{1}=(w : X_{k}(w)=1 ????

3) quelle hypothèse sur les p_k il faut imposer pour que  P(A_0) = 1   ,  P(A_0) = 0 ????

Je vous remercie à nouveau par avance.

Posté par
carpediemre : Minimum var 28-03-21 à 20:21

il faut créer un autre topic ...


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