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Minoration par une limite
Bonjour, j'ai un dm de vacances à rendre et j'ai proposé un raisonnement de ce type, mais j'en suis vraiment pas certain :
f est décroissante sur ]0,+infini[, or lim f = 0 en + infini, donc f est supérieure à 0.
Graphiquement ça marche, mais je n'ai jamais vu ça en cours. Y voyez vous une contradiction?
Merci
Salut,
Peux tu me dire ce qui se passe lorsque :
f est décroissante et minorée sur un ensemble A.
f est croissante et majorée sur un ensemble B.
?
f est croissante et majorée par M => f admet une limite l telle que f(x)<l<M
f décroissante minorée par m => f admet une limite l tq f(x)>l>m
Pourquoi?
Bonjour,
Juste pour proposer une autre voie, un raisonnement par l'absurde pourrait fonctionner :
- on suppose qu'il existe a 
] 0 ; +
[ tel que f(a) < 0
- f est décroissante et admet une limite L en +
Que peut-on dire du signe de L ?
@lehibou , on dirait que L serait inférieure ou égal à f(a) dans ce cas or f(a) est négatif donc L négatif or L=0 donc absurde donc pour tout x, f(x)>0 ? Super merci
Presque mais non.
La négation de "" est "
".
Et on ne peut pas faire mieux que ça puisque la fonction nulle satisfait tes deux hypothèses mais ne prend jamais aucune valeur strictement positive.
Si on remplace f par f strictement décroissante, est-ce qu'on aura à ton avis ?
C'est effectivement l'idée, après il faut préciser le point clé :
L serait inférieure ou égal à f(a)
Pour ça il faut revenir à la définition rigoureuse de la limite :
> 0, 
A, x > A 
L- < f(x) < L+
Peux-tu continuer ?
salut
on peut retrouver cette inégalité large en raisonnant aussi directement comme l'a fait ryanlrd en détaillant un peu mieux ce qu'il dit :
f est décroissante sur ]0, +oo[ donc pour tout x et pour tout y tels que x < y alors f(x) 
f(y)
on fait tendre y vers l'infini donc f(x) 0
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