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Niveau seconde
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Mise sous somme de carré

Posté par
Ryan07896 15-06-17 à 16:23

Bonjour!
Je poste ici car ça fait plusieurs heures que je suis sur ce problème :

L'énoncé demande s'il est possible de mettre l'expression (a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2 sous la forme d'une somme de 3 carrés.

Voici ce que j'ai, pour l'instant ...
On pose x = a + b

(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2
= ((a+b)^2 + a + b + 1)^2 = (x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1
Il s'agit là d'effectuer plusieurs factorisations afin d'arriver à quelque chose qui ressemble à h^2 + i^2 + j^2

J'ai la forme (x+1)^2 + (x^2)^2 + (2x^{1,5} + 2x)^2, lorsque je la développe je retombe bien sur l'expression de départ, en revanche lorsque je donne des valeurs à a, b et par conséquent x et que je calcule les deux expressions ( celle de départ, celle de fin ), je tombe sur des résultats différents, je ne viens pas pour demander à ce que quelqu'un vienne résoudre le problème, mais juste m'expliquer mon erreur... ( aussi bête soit-elle, ce qui n'est pas impossible je pense )

Merci d'avance !

ps: j'ai mis ça dans lycée, je sais pas vraiment si ça a une place quelque part puisque ça ne concerne aucune partie du programme à proprement parler (?)

Posté par
alb12re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 16:34

salut,
tu devrais regarder du cote de la forme canonique

Posté par
alb12re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 16:40

(x+1)^2+x^4+(2*x^(3/2)+2x)^2 ne donne pas l'expression initiale

Posté par
Camélia Correcteurre : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 16:42

Bonjour

Tu as des erreurs de développement. Par exemple (2x^{1,5})^2={{\red 4}}x^3.

Ce qui me chagrine c'est que je ne comprends pas ce que tu cherches. Dans ce genre de problèmes on travaille avec des polynômes, ce qui fait que x^{1,5} me parait très suspect. D'autre part ton expression est déjà un carré, si tu ajoutes 0+0 en voilà 3!
Donc ça manque d'hypothèses.

Posté par
Ryan07896re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 16:46

Merci de vos réponses

alb12 @ 15-06-2017 à 16:40

(x+1)^2+x^4+(2*x^(3/2)+2x)^2 ne donne pas l'expression initiale
Camélia @ 15-06-2017 à 16:42

Bonjour

Tu as des erreurs de développement. Par exemple (2x^{1,5})^2={{\red 4}}x^3.

Ce qui me chagrine c'est que je ne comprends pas ce que tu cherches. Dans ce genre de problèmes on travaille avec des polynômes, ce qui fait que x^{1,5} me parait très suspect. D'autre part ton expression est déjà un carré, si tu ajoutes 0+0 en voilà 3!
Donc ça manque d'hypothèses.


Effectivement, j'ai mis le 1.5 un peu pour me débloquer, du coup ça explique bien le fait que lorsque je donnais à mes variables des valeurs je n'avais pas le même résultat en fonction des expressions...
Je retourne dessus un peu, je vous en dit plus dès que j'aurais bien avancé ( pas drôle de se faire guider tout du long ), encore merci pour votre aide !

Posté par
Ryan07896re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 18:14

Excusez-moi, je n'ai pas trouvé le bouton pour modifier mon message précédent afin de faire part à ma solution, je la poste si certains auraient une idée de faire autrement ( car je trouve ma méthode un peu... longue on va dire )

Soit A=(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2 = ((a+b)^2 + a + b + 1)^2

On pose x = a + b d'où A = (x^2 + x + 1)^2
On obtient en développant l'expression A = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1

L'énoncé demande une somme de carré, on peut donc déclarer trois polynômes du second degré A, B, C tels que A = A(x) + B(x) + C(x).

C'est là que je trouve ma méthode un peu "longue", ne pas dire "rébarbative" serait mentir.

On remarque que (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 qui est "compris" dans A, on a donc : A(x) = (x+1)^2 et par conséquent A = (x+1)^2 + B(x) + C(x)

On a donc B(x) + C(x) = x^4 + 2x^3 + 2x^2

On cherche donc deux carrés dans cette expression: l'égalité remarquable (x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 convient parfaitement, et on a donc B(x) = (x^2 + x)^2 d'où A = (x+1)^2 + (x^2 + x)^2 + C(x)

On a C(x) = x^2

Une solution est donc A = (x+1)^2 + (x^2 +x)^2 + x^2

Honnêtement, je ne sais pas vraiment si ma démarche est celle attendue, il n'y aurait pas une méthode plus rapide pour retrouver des polynômes dans une expression ? Il doit être également possible de trouver d'autres formes de cette somme de carrés, et donc pas une réponse unique mais je n'ai pas vraiment d'idées pour en trouver d'autres à part m'acharner sur la forme développée de A jusqu'à trouver d'autres combinaisons...

alb12 @ 15-06-2017 à 16:34

salut,
tu devrais regarder du cote de la forme canonique

Pourrais-tu m'en dire un peu plus ? J'ai essayé de développer la forme "littérale"(?) de la forme canonique d'un polynôme du second degré, j'ai la somme de trois carrés plus un terme, je vais essayer de regarder ça de plus près !

Posté par
Ryan07896re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 18:22

L'énoncé demande une somme de carré, on peut donc déclarer trois polynômes du second degré A, B, C tels que A = A(x) + B(x) + C(x).

Posté par
alb12re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 19:18

je pensais à la forme canonique de x^2+x+1
mais les polynomes ne sont pas tous à coefficients entiers

Posté par
cocolaricottere : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 21:34

Bonjour à tout le monde,

Niveau seconde dans quel pays ?

Posté par
Ryan07896re : Mise sous somme de carré 15-06-17 à 22:27

Alors en fait je suis en France, c'est juste que je fais des maths en dehors des cours pour le plaisir du coup je fais sur ce genre d'exercice car j'aime ça ( légèrement plus intéressant à faire que d'appliquer une méthode comme un mouton )

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Mise sous somme de carré 16-06-17 à 14:00

Bonjour,

Citation :
Une solution est donc A = (x+1)^2 + (x^2 +x)^2 + x^2

Oui, après avoir remplacé x par a+b : A = (a+b+1)^2 + ((a+b)^2 +a+b)^2 + (a+b)^2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Mise sous somme de carré 16-06-17 à 15:21

@ Ryan07896,
Peux-tu nous préciser un peu les contraintes que tu veux voir respectées ?
Sans contraintes, il y a plein de solutions sans intérêt.
Deux exemples :

(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2 = (a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2 + 0^2 + 0^2 déjà signalé par Camélia

(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1)^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}}(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1))^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}}(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1))^2 + (\frac{1}{\sqrt{6}}(a^2 + 2ab + b^2 + a + b + 1))^2

Posté par
Ryan07896re : Mise sous somme de carré 16-06-17 à 16:39

C'est vrai... L'énoncé demande juste s'il est possible de mettre l'expression sous cette forme en fait, mais je pense que la meilleure façon de le montrer c'est de donner un exemple (je connais aucune propriété pour le "démontrer" de toute façon)

Mais il est clair que ce problème peut être traité très facilement tout compte fait en ajoutant deux carrés nuls, je me souviendrais bien de ça car je trouve ça assez malin !

Merci pour votre aide, a priori ce problème est terminé

Posté par
mathafou Moderateurre : Mise sous somme de carré 16-06-17 à 17:04

Bonjour,

le démontrer, tu l'as fait.

ceci dit la question est bien entendu à comprendre comme de carrés non nuls
et même de carrés de polynomes en a et b à coefficients entiers !

sinon cela n'offre aucun intérêt.


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