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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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modélisation pour fonction de N ou de R ?

Posté par
jbsph
09-06-24 à 20:02

Bonjour, je ne comprends pas la modélisation du cas suivant (d'un niveau lycée, je pense):
J'ai 100€ de dépôt sur un compte dont le taux de rémunération annuel est de 10%. On veut modéliser le solde du compte chaque année (sans qu'il soit alimenté extérieurement).
Le premier modèle est une suite géométrique: \forall n \in \mathbb{N}, u_n = 100\times 1,1^n.
Le deuxième modèle peut-il être la fonction solution du problème de Cauchy: \left \{ \begin{array} y y'=0,1y \\ y(0)=100 \end{array}.
Soit par la fonction f(x)=100e^{0,1x} ?
Restreintes au même intervalle de définition ces fonctions (u et f) sont différentes.
Dans cet exemple, pourquoi le bon modèle est le modèle discret et non le modèle continu ? Comment savoir si on doit modéliser par une suite ou plutôt par une fonction?

Posté par
verdurin
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 20:05

Bonsoir,
à mon avis c'est une question de législation.

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 20:26

Euh, c'est à dire ?

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 20:45

Tu veux dire que mathématiquement les deux modélisations sont valables ?

Posté par
verdurin
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 20:57

Je veux dire que le choix de la modélisation n'est pas mathématique.
Il dépend du contrat ou de la loi.
Il me semble que la modélisation par une équation différentielle n'est pas utilisée en pratique.

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 22:04

Ah ok. Merci

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 09-06-24 à 22:20

Bonjour,
Dans le premier modèle, n représente la durée du placement en nombre d'années.
Dans le second modèle, que représente x ?

Posté par
candide2
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 10-06-24 à 09:35

Bonjour,

L'énoncé précise : "le taux de rémunération annuel est de 10%"

C'est exactement le cas avec le formule 1

Mais pour la formule 2 :
Même si x était un nombre entier d'années, le tau de rémunération annuel se calculerait par :

100 * (100.e^(0,1.(x+1))/100.e^(0,1.x) - 1)
= 100* (e^0,1 - 1) = 10,5... %
Donc pas exactement 10 % comme exigé par l'énoncé.

Je ne sais pas si c'est cala qui est attendu.

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 10-06-24 à 21:55

C'est bien ce que j'attendais, ne comprenais/ comprends pas bien la différence entre ces deux modèles, pour moi les deux représentaient la même situation. Ok pour le calcul du taux avec le modèle continu. Mais je ne vois pas à quoi correspond x dans ce cas. Je pensais qu'il représentait la même chose que n, je vois maintenant que ce n'est pas la cas... je dirai que x représente aussi une durée, mais sans trop comprendre

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 10-06-24 à 22:18

Si on veut une équation fonctionnelle, ce serait celle ci :
f(x+1) = 1,1 f(x).
Une solution continue : f(x) = 100(1,1)x
Qui s'écrit aussi : f(x) = 100exln(1,1)
Et qui donne f'(x) = ln(1,1)f(x).
ln(1,1) n'est pas très différent de de 0,1.

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 10-06-24 à 22:41

Alors dans le cas continue () x représente la durée du placement en nombre d'années mais pour un coefficient de e^{0,1} ?

Posté par
jbsph
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 10-06-24 à 22:44

Alors dans le cas continue(f(x)=100e^{0,1x}), x représente la durée du placement en nombre d'années mais pour un coefficient de e^{0,1} ?
Mais alors ce problème ne peut pas être modélisé 'directement' par une équation différentielle, la mise en équation correcte pour une fonction continue est celle que tu viens d'écrire?

Posté par
thetapinch27
re : modélisation pour fonction de N ou de R ? 14-06-24 à 22:00

Bonsoir,

jbsph @ 09-06-2024 à 20:02


J'ai 100€ de dépôt sur un compte dont le taux de rémunération annuel est de 10%.


Alors là ! Je veux bien que tu me présentes ton banquier

Les taux annuels annoncés sont des taux "équivalents" et le bon modèle est le modèle discret si on ne calcule le montant de son pactole qu'une fois par an.
Mais, si tu détiens un livret A, tu sais peut-être que les intérêts sont payés tous les quinze jours. Donc le taux est un nombre "a" tel que 1+a=(1+taux_annuel)^(1/N) où N représente le nombre de quinzaines dans une année.

Bien sûr on peut aussi décider de passer au modèle continu ce qui revient quasiment à dire que les intérêts sont versés toutes les nanosecondes.
Dans ce cas, dans l'équa-diff y'=b*y il faut choisir b qui est tel que après une année, la somme a augmenté de 10%. Et b n'a aucune raison de valoir 0.1. La valeur de b dépend de l'unité de temps que tu choisis (y(1) c'est après 1 seconde, 1 jour, 1 semaine ?). Si c'est en années alors il faut choisir b=ln(1.1) comme l'écrit Sylvieg.
Si t représente des jours alors il faut que exp(365*b)=1.1 donc b=xxx
Si t représente des semaines alors il faut que exp(52*b)=1.1 donc b=xxx

Bonne soirée



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