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Modes de définition d'une application linéaire
Bonjour à tous,
J'ai des difficultés avec l'exercice suivant :
Soit E = {e1, e2} une base de R² et F = {f1, f2, f3} une base de R³.
On définit la famille de vecteurs B ={u,v,w} par
u = 3e1 + e2
v = -e1
w = e2 - e1
1. Soit g : R² -> R³ telle que
g(u) = f1 + f3
g(v) = f2 - f3
g(w) = f1 + 2f2
Montrer que l'application g n'est pas linéaire, on pourra vérifier si la famille B est une base.
J'ai trouvé ce théorème dans mon cours mais je n'arrive pas à faire le lien avec l'exercice :
Etant données une base B = {bi}i∈I d'un espace vectoriel E et une famille de vecteurs F = {vi}i∈I d'un espace vectoriel F,
il existe une unique application linéaire ϕ de E dans F telle que ϕ(bi) = vi pour tout i ∈ I.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à faire le lien avec l'exercice s'il vous plaît (s'il en existe un bien sûr peut etre je me trompe de théorème) ?
Merci beaucoup pour toute aide !!
Bonjour carpediem,
Effectivement, on peut s'en passer 
Ce qui est certain, c'est que le théorème cité par KMomo n'est pas utile.
D'accord,
J'ai d'abord supposé que la famille B est libre
J'ai donc posé (a,b,c) € R³ tel que
a(3e1 + e2) + b(-e1) + c(e2-e1) = 0
= e1(3a-b-c) + e2(3a+c)
On a le système suivant :
3a - b - c = 0
3a + c = 0
On a une infinité de solutions tel que a = -c/3 ; b = -2c ; c = c
La famille n'est donc pas libre et ce n'est pas une base.
Mais admettons qu'elle aurait été libre et que j'aurais du continuer en démontrant qu'elle est génératrice, j'aurais du démontrer qu'elle est génératrice de quoi ?
De même la question c'est "vérifier si la famille est une base" mais une base de quoi ???
"vérifier si la famille est une base" mais une base de quoi ???
u, v et w sont dans quel espace vectoriel ?
Cet espace vectoriel est de quelle dimension ?
pour compléter le msg de Sylvieg : je trouve que l'indication est piégeuse
B n'est pas une base ok
1/ est-elle génératrice ?
2/ quelle est la définition d'une application linéaire ? (c'est ça le plus important pour conclure)
u, v et w sont dans l'espace vectoriel E qui est une base de R².
On a donc dim(E) = 2
Du coup est ce que j'aurais pu déduire directement que la famille B ne peut pas être libre car on essaye de créer 3 vecteurs avec 2 vecteurs issue d'une base de R² ou encore que la dimension maximale de B est 2 ??
Tu peux regarder ton cours sur dimension, nombre d'éléments d'une famille libre, d'une famille génératrice.
pour compléter le msg de Sylvieg : je trouve que l'indication est piégeuse
B n'est pas une base ok
1/ est-elle génératrice ?
2/ quelle est la définition d'une application linéaire ? (c'est ça le plus important pour conclure)
1/ génératrice de R² ou R³ ? je n'arrive pas à bien cerner la subtilité car on a u,v,w qui sont générés à l'aide de E qui est une base de R² mais on a 3 vecteurs ici
2/ il faut qu'on ait f(x+y) = f(x) + f(y) et pour tout scalaire µ f(µx)=µf(x)
Tu peux regarder ton cours sur dimension, nombre d'éléments d'une famille libre, d'une famille génératrice.
Théorème :
Soit E un espace vectoriel de dimension n et F une famille de m vecteurs de E.
Si m =/ n, alors F n'est pas une base de E car :
Si F est libre, alors m <= n.
Si F est génératrice de E, alors m>=n
Si on applique le théorème dans mon cas :
On pose E = R² et B = {u,v,w]
Soit R² un espace vectoriel de dimension 2 et B une famille de 3 vecteurs de E.
On a m>n donc B n'est pas libre mais génératrice de R².
pour compléter le msg de Sylvieg : je trouve que l'indication est piégeuse
B n'est pas une base ok
1/ est-elle génératrice ?
2/ quelle est la définition d'une application linéaire ? (c'est ça le plus important pour conclure)
1/ génératrice de R² ou R³ ? je n'arrive pas à bien cerner la subtilité car on a u,v,w qui sont générés à l'aide de E qui est une base de R² mais on a 3 vecteurs ici
2/ il faut qu'on ait f(x+y) = f(x) + f(y) et pour tout scalaire µ f(µx)=µf(x)
1/ Du coup pour répondre à carpediem la famille est génératrice de R²
mais en quoi ça peut nous aider à démontrer que g n'est pas linéraire
Théorème :
Soit E un espace vectoriel de dimension n et F une famille de m vecteurs de E.
Si m =/ n, alors F n'est pas une base de E car :
Si F est libre, alors m <= n.
Si F est génératrice de E, alors m>=n vrai
Si on applique le théorème dans mon cas :
On pose E = R² et B = {u,v,w]
Soit R² un espace vectoriel de dimension 2 et B une famille de 3 vecteurs de E.
On a m>n donc B n'est pas libre mais génératrice de R². faux
penses-tu que la famille (u, 2u, 3u) soit génératrice de E ?
reprenons :
1/ f est linéaire si et seulement si
f(x+y) = f(x) + f(y) et pour tout scalaire µ f(µx)=µf(x)
2/ peux-tu exprimer u en fonction de v et w ?
3/ calculer g(u) à partir de 1/ et 2/
4/ conclusion ?
Effectivement merci carpediem j'ai confondu avec la réciproque
et non la famille (u, 2u, 3u) n'est pas génératrice de R² si on pense au vecteur (1,0) par exemple
Mais en quoi cet info nous serait utile dans l'exo ? Comme l'info donné sur la base ?
Sinon pour répondre :
2/ u = -4v + w
3/ g(u) = g(-4v + w) = f1+f3
On vérifie si g(-4v + w) = g(-4v) + g(w)
Selon l'énoncé :
g(-4v) + g(w) = -4f2 + 4f3 + f1 + 2f2 = f1 - 2f2 + 4f3
Qui est différent de g(-4v + w)
4) L'application n'est pas donc pas linéaire très bien merci
Peut etre que vérifier si la famille B est une base est une indication pour nous pousser à vérifier si la famille en question est liée pour ensuite nous pousser à écrire u en fonction de v et w comme carpediem me l'a demandé ?
Voici la deuxième question :
Combien y a t-il d'applications h € L(R², R³) tq h(u) = f1 - 2f2 + 4f3 ; h(v) = f2 - f3 ; h(w) = f1+2f2
Je ne comprends pas trop le but de cette question ?
Déjà on remarque que l'application h est bien linéaire, on le déduit grâce à la question d'avant mais que signifie compter le nombre d'applications ? Pour moi il n'y en a qu'une et elle est donnée dans l'énoncé....
c'est mal rédigé !!
Mais en quoi cet info nous serait utile dans l'exo ? c'était pour te montrer ton erreur
Comme l'info donné sur la base ? en fait l'idée n'est pas que ce soit une base ou pas ou génératrice ou pas mais que la famille est liée
par conséquent si 2/ u = -4v + w et g est linéaire alors 3/ g(u) = g(-4v + w)
or g(-4v + w) = g(-4v) + g(w) = -4f2 + 4f3 + f1 + 2f2 = f1 - 2f2 + 4f3 si g est linéaire
Qui est différent de g(u) = f1 + f3
4) L'application n'est pas donc pas linéaire
pour h maintenant il est important de savoir si B engendre E ou pas ... donc :
1/ B engendre-t-elle E ?
2/ conclusion ?
* Modération > Citation inutile effacée. *
1/ Soit E={e1,e2} une base de R²
On pose e1 = (1,0) et e2 = (0,1)
Les coordonnées de u dans la base E sont (3,1)
Les coordonnées de v dans la base E sont (-1,0)
Les coordonnées de w dans la base E sont (-1,1)
On pose le système :
3a - b - c = x
a + c = y
Rang = 2 mais on a 2 lignes et 3 inconnues donc le système a une infinité de solution et la famille B n'est pas génératrice de R².
Cependant, je ne vois pas trop le rapport puisque l'application h part de R² pour arriver dans R³....
je ne comprends absolument pas ce que tu fais !!
B = (u, v, w)
pour h maintenant il est important de savoir si B engendre E ou pas ... donc :
1/ B engendre-t-elle E ?
2/ h est-elle linéaire ?
3/ conclusion ?
et le théorème que tu cites dans ton premier post peut t'aider à conclure ...
et arrête de citer mes msg !!
ça allonge inutilement la page ...
Comment fait-on pour démontrer qu'une famille est génératrice dans le cas ou on a pas des vecteurs avec des coordonnées ....
puisque u = w - 4v alors il est évident que vec (u, v, w) = vec (v, w) (espace vectoriel engendré par v et w
la famille F = (v, w) est-elle :
1/ libre ?
2/ une base de R2 ?
3/ conclusion ?
1/ On pose (a,b) € R²
Supposons a(-e1) + b(e2-e1) = 0
e1 (-a-b) + e2b =0
Le système :
-a-b = 0
b = 0
admet comme unique solution a = b = 0 donc la famille {v,w} est libre.
2/ Puisque on a vec(u,v,w) = vec(v,w) les vecteurs v et w sont générateurs par définition
La famille {v,w} forme donc une base de R²
3/ h étant une application linéaire on reprend le théorème que j'ai cité dans mon premier post :
Etant donné une base F={v,w} de R² et une famille de vecteurs F'={f1, f2, f3} de R³, il existe une unique application linéaire µ de R² dans R³ telle que µ(v) = f1 et µ(w) = f2
Il y a donc 2 applications h ?
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