|z - 1/z|=2

|(z²-1)/z| = 2
|(z-1)(z+1)/z| = 2

|z-1| * |z+1| = 2|z|

avec z = x + iy ->

[(x-1)²+y²]*[(x+1)²+y²] = 2(x²+y²)

(x²-2x+1+y²)(x²+2x+1+y²) = 2x²+2y²

x^4 + 2x³ + x² + x²y² -2x³-4x²-2x-2xy²+x²+2x+1+y²+x²y²+2xy²+y²+y^4 = 4x²+4y²

x^4 + y^4 + 2x²y² - 6x² - 2y² + 1 = 0

Posons x² = X (-> X > 0)
et posons y² = Y (-> Y > 0)

X² + Y² + 2XY - 6X - 2Y + 1 = 0

X² + 2X(Y - 3) + Y² -2Y + 1 = 0

X = (3-Y) +/- V(9+Y²-6Y - Y²+2Y-1)
X = (3-Y) +/- V(8-4Y)
X = (3-Y) +/- 2.V(2-Y)

X > 0 pour Y dans [0 ; 2] aussi bien pour X = (3-Y) - 2.V(2-Y) que pour X = (3-Y) + 2.V(2-Y)

On prend n'importe quel Y dans [0 ; 2] et on calcule les X correspondants par: X = (3-Y) +/- 2.V(2-Y)
On en déduit y = +/- V(Y) et x = +/- V(X)

Les solutions sont sur la courbe d'équation: x^4 + y^4 + 2x²y² - 6x² - 2y² + 1 = 0 avec y dans [-V2 ; V2]
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Exemple: on choisit Y = 1, on calcule  X = 2+/-2V(1)  -> X = 0 et X = 4

-> y = +/-1 et x = +/- 2 ou x = 0 conviennent (z = -1 - 2i ; z = -1 + 2i ; z = 1 - 2i; z = 1 + 2i ; z = -1 et z = 1)

On trouve une infinité de solutions en choisissant d'autres valeurs de Y dans [0 ; 2] en calculant les X correspondant et en déduisant les x et y.
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Je ne sais pas si c'est ce que tu voulais.

Sauf distraction.  

Bonjour J-P,
C'est en fait un exercice de colle que j'ai eu cette semaine, je dois maintenant rendre un corrigé. J'ai trouvé en effet le même développement, mais après il y a une histoire de factorisations et on met en complexe l'équation je crois.
A la fin, on est censé trouver que l'ensemble de solutions est deux cercles de rayon 2 et de centres i et -i.
Mais c bien ça que je n'arrive pas a retrouver.

Merci infiniment pour ton aide.

Amicalement

PS : je crois que le 2x²y² devient -2(ixy)² et a partir de là on est censé pouvoir factoriser quelque chose .... Je ne sais plus.

Ou bien tu arrives à renifler la solution, ou tu peux procéder comme suit (c'est un peu long mais sans réelle difficulté).

Pour trouver les 2 cercles:

Un cercle de centre (A;B) et de rayon R et un cercle de centre(C;D) et de rayon R' ->

((x-A)²+(y-B)²-R²)((x-C)²+(y-D)²-R'²) = 0

(x²-2Ax+A²+y²-2yB+B²-R²)(x²-2Cx+B²+y²-2yD+D²-R²) = 0

Tu développes ...

Tu obtiens une équation: x^4 + ... = 0

Tu l'identifies avec x^4 + y^4 + 2x²y² - 6x² - 2y² + 1 = 0 (trouvé dans ma réponse précédente).

Tu auras un système qui te permettra de trouver A, B, R, C, D et R'.
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Bon travail.  

J'ai oublié de dire:

Il y a sûrement plus rapide que ce que j'ai proposé, il te reste à réfléchir.

Ca y est, j'ai la réponse, je me suis fait tuer par mon professeur de Maths aujourd'hui, mais il a bien voulu m'eclairer :

Primo j'ai bien sur fait une erreur dans l'énoncé donc ce n'est pas |z-1/z|=2 mais |z+1/z|=2

Bon, en refesant le même développement que J-P, on obtient :

x^4+y^4+2x²y²+2x²-2y²+1-4(x²+y²)=0

on peut factoriser x^4+2x²y²+y^4 :

(x²+y²)²+2x²-2y²-4(x²+y²)+1=0

et là regardez bien l'idée :

(x²+y²)²-2(x²+y²)+1-4y²=0

On remarque maintenant qu'on peut factoriser !!

(x²+y²-1)²-(2y)²=0
(x²+y²-1-2y)(x²+y²-1+2y)=0
(x²+y²-2y+1-2)(x²+y²+2y+1-2)=0
(x²+(y-1)²-2)(x²+(y+1)²-2)=0
(|z-i|-2)(|z+i|-2)=0

Donc z est sur le cercle de centre i et de rayon 2 ou sur le cercle de centre -i et de rayon 2.

Un exercice très interessant qui est de niveau terminale, mais qui demande tout de même pas mal de réflexion.

@+