Je pense à priori à utiliser le théorème de Liouville conjointement à un théorème sur les compositions de fonctions holomorphes.
Notamment l'idée serait de composer par une fonction holomorphe g, qui "ramenerait" C à oméga.
Et tu as ton résultat en composant à gauche par f.
Mais c'est une idée que je n'ai pas essayée.

Je te propose éventuellement si ca ne marche pas, de prendre un lacet autour de ton maximum w, et d'utiliser les théorèmes classiques:
Lemme d'estimation+formule de Cauchy.

Il me semble avoir trouvé plus simple que ca, en utilisant le principe du maximum sur un cercle centré en w, ou w est ton maximum.

Oui ca marche:
on trouve bien une contradiction si je ne m'abuse.

Je viens de voir que c'est mot pour mot la forme du fameux principe du maximum que j'utilise dans un cours que j'ai sous la main...
Donc ca ne sert à rien d'utiliser ce théorème pour le prouver.(je connaissais une autre version)

Donc comme je le dis plus haut:
Lemme d'estimation