Niveau maths spé

Module d'une somme de complexe

Posté par
BlackGhost 23-04-25 à 14:56

Bonjour à tous,

quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1} \exp \left(2 i \pi \frac{k^2}{n}\right)$ sachant que n est un entier naturel non nul.
D'avance marci,
BG

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 16:27

Bonjour,
Une exploration numérique suggère de considérer les valeurs de $n$ modulo 4.
Tu peux commencer par regarder ce que vaut ta somme pour $n=4p+2$

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 18:30

salut

on peut poser $w = e^{i \frac {2\pi}n}$ qui est une racine n-ième de l'unité

et alors on regarde $z = \sum_{k = 0}^n w^{k^2}$

ensuite on réfléchit pour avoir une idée ... comme celle que propose Kohle ...

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 21:04

Bonjour,

le cas le plus facile est le cas $n=4m+2$ .

Le cas $m$ impair se fait assez bien, le cas $n=4m$ est le plus difficile.

Il y a une solution ici :

Posté par re : Module d'une somme de complexe 24-04-25 à 11:40

Merci à tous,
BG

Posté par re : Module d'une somme de complexe 10-05-25 à 15:43

Bonjour à tous,
J'avais bel et bien réussi à montrer que la somme était nulle dans le cas $n=4p+2$
Par contre, je séchais dans les cas $n$ impair et $n=4p$
Merci jandri

Posté par re : Module d'une somme de complexe 14-11-26 à 03:27

Bonsoir

c'est un assez ancien topic que je trouve intéressant et c'est pourquoi j'ai jugé bon de rédiger une réponse

surtout que le lien proposé par jandri (que je salue ) est introuvable !

il s'agit de calculer, en fonction de l'entier naturel non nul $n$ , le module de la somme complexe $\Large\boxed{T_n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi k^2}{n}}}$ .

$\Large\boxed{|T_n|^2=T_n\bar{T_n}=\sum_{k=0}^{n-1} \sum_{\ell=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi(k^2-\ell^2)}{n}}= \sum_{\ell=0}^{n-1}\underbrace{\boxed{\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi(k^2-\ell^2)}{n}}}}_{s_{\ell}}}$ ,

l'idée est d'utiliser, dans chaque sous somme $s_{\ell}$ , le changement d'indice astucieux $\Large\boxed{k\equiv m+\ell}$ modulo $n$ ,

on vérifie en effet assez facilement que chaque application $\Large\boxed{\tilde{t_{\ell}}:\left\lbrace\begin{array}l \{\bar 0,\bar 1,...,\bar{n-1}\} \to\{\bar 0,\bar 1,...,\bar{n-1}\} \\ \hspace{2.8cm}\bar m\mapsto\bar{m+\ell}=\bar m+\bar\ell \end{array}\right.}$ est bijective

(ce sont les translations du groupe additif $\{\bar 0,\bar 1,...,\bar{n-1}\}$ )

d'où les bijections $\Large\boxed{t_{\ell}:\left\lbrace\begin{array}l \{0,1,...,n-1\} \to\{0,1,...,n-1\} \\ \hspace{2.8cm} m\mapsto k \hspace{.5cm},\hspace{.5cm}\bar k=\bar{m+\ell}\end{array}\right.}$

et ainsi chaque sous somme $s_{\ell}$ s'écrit aussi $\Large\boxed{s_{\ell}=\sum_{m=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi((m+\ell)^2-\ell^2)}{n}}=\sum_{m=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi m^2}{n}}e^{\frac{4i\pi m\ell}{n}}}$

d'où, $\Large\boxed{|T_n|^2= \sum_{m=0}^{n-1}e^{\frac{2i\pi m^2}{n}}\underbrace{\boxed{\sum_{\ell=0}^{n-1}e^{\frac{4i\pi m\ell}{n}}}}_{g_{m}}}$ et on reconnait les sommes géométriques $\Large\boxed{g_m=\sum_{\ell=0}^{n-1}(e^{\frac{4i\pi m}{n}})^{\ell}}$

d'où la discussion : si $\Large\boxed{e^{\frac{4i\pi m}{n}}=1}$ (c'est à dire si $n$ divise $2m$ ) alors $\Large\boxed{g_m=n}$ et sinon, on a $\Large\boxed{g_m=0}$

et comme on a $\Large\boxed{0\leqslant\frac{2m}{n}\leqslant\frac{2(n-1)}{n}<2}$ on voit que $\Large\boxed{e^{\frac{4i\pi m}{n}}=1\Longleftrightarrow \left[m=0\hspace{.5cm}ou\hspace{.5cm}2m=n\right]}$

et de là il n'est pas difficile de conclure que, $\blue\Large\boxed{|T_n|=\left\lbrace\begin{array}l \sqrt n~~~~si~~~n~impair \\ 0 ~~~~si~~~n=4p+2\\ \sqrt{2n}~~~~si~~~n=4p\end{array}\right.}$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

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