Niveau maths spé

Module d'une somme de complexe

Posté par
BlackGhost 23-04-25 à 14:56

Bonjour à tous,

quelqu'un pourrait-il m'indiquer comment calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1} \exp \left(2 i \pi \frac{k^2}{n}\right)$ sachant que n est un entier naturel non nul.
D'avance marci,
BG

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 16:27

Bonjour,
Une exploration numérique suggère de considérer les valeurs de $n$ modulo 4.
Tu peux commencer par regarder ce que vaut ta somme pour $n=4p+2$

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 18:30

salut

on peut poser $w = e^{i \frac {2\pi}n}$ qui est une racine n-ième de l'unité

et alors on regarde $z = \sum_{k = 0}^n w^{k^2}$

ensuite on réfléchit pour avoir une idée ... comme celle que propose Kohle ...

Posté par re : Module d'une somme de complexe 23-04-25 à 21:04

Bonjour,

le cas le plus facile est le cas $n=4m+2$ .

Le cas $m$ impair se fait assez bien, le cas $n=4m$ est le plus difficile.

Il y a une solution ici :

Posté par re : Module d'une somme de complexe 24-04-25 à 11:40

Merci à tous,
BG

Posté par re : Module d'une somme de complexe 10-05-25 à 15:43

Bonjour à tous,
J'avais bel et bien réussi à montrer que la somme était nulle dans le cas $n=4p+2$
Par contre, je séchais dans les cas $n$ impair et $n=4p$
Merci jandri

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