Bonjour Emilie, ton énoncé me semble faux:


ainsi est un monoïde, mais outre l'addition, la nmultiplication est également une loi binaire interne.

Ou alors impose-t-on d'avoir le même élément neutre?
Mais même dans ce cas, l'application




est encore interne et de même élément neutre, donc...



Pour ce qui est des groupes, l'inversibilité e tout élément est l'un des axiomes à vérifier, donc il n'y a rien à prouver.


Et la question : "Y a -t-il des éléments inversibles dans le groupe machin" est une lapalissade, par définition tout élément est inversible dans un groupe!

A moins que ton groupe soit muni d'une deuxième loi pour laquelle tous les éléments ne sont pas inversibles (par exemple , danslequel seuls 1 et -1 sont inversibles pour la multiplication), qauquel cas des exemples suffisent pour répondre à la question )



En espérant avoir été complet!



Tigweg

Oups j'ai dit une bêtise, l'application 2x+2y n'a PAS d'élément neutre!!
Je reconsidère la question!

Bonjour Tigweg,

je viens de comprendre que le prof pause que le monoïde est muni d'une seule opération. Je n'ai pas besoin de prouver qu'elle est unique car en effet, c'est impossible. N possède au moins l'addition et la multiplication, par exemple.

Qu'en est-il de la question :
Y a-t-il des éléments inversibles dans le monoïde "bidule"?
J'ai bien compris que tous les éléments sont inversibles dans un groupe par définition. Mais pour un monoïde, je ne crois pas. Dois-je simplement donner des exemples prouvant que certains éléments sont inversibles uniquement dans des cas particuliers ?

Merci pour votre réponse on ne peut plus rapide !
Emilie.

Je t'en prie!

Je répondais simplement à ta question telle qu'elle était posée:

Voici par ailleurs une autre loi faisant de un monoïde, et qui est différente de l'addition mais de même élément neutre, il s'agit de :

(n,m) -> n+m +nm.


On vérifie asez facilement qu'elle est associative (le fait qu'elle est interne est immédiat), et qu'un élément neutre éventuel vérifiera e+e+ee = e soit e(e+1)=0.

Dans , cela implique e=0.

Inversement, il est aisé e vérifier que 0 est bien élément neutre pour cette loi.


Tigweg

de vérifier*

Merci beaucoup de m'éclairer !

Démontrer que (Z5*, x) ensemble des entiers relatifs modulo n sans 0 muni de l'opération de multiplication est un groupe.

J'ai prouvé qu'il était associatif et que l'élément neutre est 1 = [1] (classe de 1)
mais je ne crois pas qu'il y ait des inverses pour tous les nombres (à part pour 1 et -1).
Je comprends qu'on ait enlevé 0 car on ne peut pas diviser par 0 donc 0 n'a pas d'inverse. Mais, l'inverse de 2 et 1/2 et 1/2 n'appartient pas à Z5*, je crois.

Emilie

Je t'en prie!


En fait il ne faut pas se laisser avoir par les réflexes qu'on a dans IR, les groupes sont résolument d'une autre nature!

Tu peux, de manière élémentaire, calculer les produits 2.k où k décrit .

A quelle condition 2 sera-t-il alors inversible?

Oui, j'ai trop tendance à me rapporter à R et à mes habitudes, ce à quoi je suis familière...

En fait, retirer 0 = [0] permet d'avoir : [2] x [3] = [6]
donc l'inverse de 2 est 3.
Car [1], [6], [11],... sont éléments neutres de Z5* et sont tous égaux.

Est-ce bien ça ?
Emilie.

C'est presque ça!

En fait [1],[6],[11], etc... sont égaux, et désignent tous la classe de 1 modulo 5.

Un monoïde ne peut pas avoir plus d'un élément neutre!
Sinon c'est parfait!


Tigweg