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Monotonie

Posté par
Ramanujan 28-09-18 à 19:26

Bonjour,

Je bloque sur ce raisonnement dans une démonstration.

Supposons f une application bijective sur I.
Si f n'était pas strictement monotone sur I alors on pourrait trouver des réels u,v,w et par exemple :

f(w) \leq f(u) \leq f(v)

Quitte à remplacer dans les autres cas f par -f ou f par x \rightarrow f(-x) où les deux !

Je comprends pas comment obtenir l'inégalité, et le dernier passage j'ai rien compris

Posté par
carpediemre : Monotonie 28-09-18 à 19:42

salut

sais-tu ce qu'est une fonction monotone ?

PS : j'ai vu que tu voulais faire contractuel en math ... je te le déconseille dans l'intérêt des élèves ...

Posté par
carpediemre : Monotonie 28-09-18 à 19:44

et en plus il manque surement quelque chose !!

du genre : il existe des réels u, v et w tels que u < v < w

ce qui aggrave ton cas ...

Posté par
Razesre : Monotonie 28-09-18 à 19:46

Posté par
carpediemre : Monotonie 28-09-18 à 19:52



j'ai gagné !!!

Posté par
Razesre : Monotonie 28-09-18 à 20:15

Bonjour carpediem,

ma vengeance sera terrible.

Posté par
verdurinre : Monotonie 28-09-18 à 20:33

Bonsoir Ramanujan.
Je suppose que I est un intervalle non vide de \R.

Quelque soit f : I\to I on peut trouver trois réels ( pas forcément distincts ) tels que f(u)\leqslant f(v)\leqslant f(w).

Si on ne précise pas que la bijection est continue elle n'est pas forcément monotone.

Il y a des bijections de I dans I qui ne sont pas monotones.
Par exemple f\ : [-1\,;1]\to [-1\,;1] définie par
x\mapsto \begin{cases}f(x)=x&\text{si } x\in \Q\\f(x)=-x&\text{si } x\not\in \Q\end{cases}

Posté par
verdurinre : Monotonie 28-09-18 à 21:05

Pour continuer :
      f n'est pas strictement croissante peut s'écrire

\exists (u\,;v)\in I^2\quad u<v \text{ et } f(u)\ge f(v)

      f n'est pas strictement décroissante peut s'écrire

\exists (u\,;v)\in I^2\quad u<v \text{ et } f(u)\le f(v)

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 28-09-18 à 21:07

Je corrige mon énoncé j'ai oublié quelque chose :

On peut trouver 3 réels de I u,v,w tels que :

u<v<w   et f(w) \leq f(u) \leq f(v)

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 28-09-18 à 21:11

carpediem @ 28-09-2018 à 19:42

salut

sais-tu ce qu'est une fonction monotone ?

PS : j'ai vu que tu voulais faire contractuel en math ... je te le déconseille dans l'intérêt des élèves ...


Oui je sais, je suis pas bête. Vous me sous estimez trop.

Une fonction strictement monotone sur I est une fonction strictement croissante ou strictement décroissante.

Par contraposée une fonction non strictement monotone est une fonction décroissante ET croissante.

Mais je comprends pas ici les histoires de remplacer f par -f et f(x) par f(-x)

Posté par
verdurinre : Monotonie 28-09-18 à 21:21

Citation :
Par contraposée une fonction non strictement monotone est une fonction décroissante ET croissante.

Ce qui voudrait dire que les seules fonction qui ne sont pas strictement monotones sont les fonctions constantes.
En effet ce sont les seules qui sont à la fois croissantes ET décroissantes.

En remplaçant f par -f on transforme une fonction strictement croissante en une fonction strictement décroissante et réciproquement.
Et c'est la même chose en remplaçant x par -x.

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 28-09-18 à 21:32

verdurin @ 28-09-2018 à 21:05

Pour continuer :
      f n'est pas strictement croissante peut s'écrire

\exists (u\,;v)\in I^2\quad u<v \text{ et } f(u)\ge f(v)

      f n'est pas strictement décroissante peut s'écrire

\exists (u\,;v)\in I^2\quad u<v \text{ et } f(u)\le f(v)


D'accord

Donc il existe u,v,w tels que : u<v<w et

u < w et f(u) \geq f(w) (pas strictement croissante)

u<v et f(u) \leq f(v) (pas strictement décroissante)

D'où : u<v<w et f(w) \leq f(u) \leq f(v)

Après avec les -f et f(-x) j'ai pas compris.

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 28-09-18 à 21:37

verdurin @ 28-09-2018 à 21:21

Citation :
Par contraposée une fonction non strictement monotone est une fonction décroissante ET croissante.

Ce qui voudrait dire que les seules fonction qui ne sont pas strictement monotones sont les fonctions constantes.
En effet ce sont les seules qui sont à la fois croissantes ET décroissantes.

En remplaçant f par -f on transforme une fonction strictement croissante en une fonction strictement décroissante et réciproquement.
Et c'est la même chose en remplaçant x par -x.


J'ai pas compris l'intérêt de remplacer f par -f dans cette démo...

Donc j'aurais : u<v<w et :

-f(u) < - f(v) < - f(w) ?

Je trouve même pas le bon résultat.

Posté par
verdurinre : Monotonie 28-09-18 à 21:47

Je ne sais pas exactement ce qu'il y a dans la démonstration que tu lis.

Disons que l'on a une application f bijective et continue de l'intervalle I dans l'intervalle J.
On veut montrer qu'elle est strictement monotone.

Il est presque évident que l'application -f  de l'intervalle I dans l'intervalle -J est aussi bijective et continue.
Si l'une est strictement croissante l'autre est strictement décroissante.

On peut donc remplacer « f est strictement monotone » par « f est strictement croissante ou -f est strictement croissante ».
Et ne considérer que des fonctions strictement croissantes.

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 28-09-18 à 22:08

J'ai compris, on aurait pu faire la démo que pour strictement croissante puis utiliser -f

Merci beaucoup Verdurin. Bonne soirée.

Posté par
verdurinre : Monotonie 28-09-18 à 22:56

service

Posté par
lafol Moderateurre : Monotonie 28-09-18 à 23:13

Bonjour
ce qui m'inquiète, c'est que tu sembles penser que le contraire de "f est strictement croissante", c'est "f est décroissante" ...
je ne sais pas où tu ranges la fonction sinus, là dedans ?

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 04:49

lafol @ 28-09-2018 à 23:13

Bonjour
ce qui m'inquiète, c'est que  tu sembles penser que le contraire de "f est strictement croissante", c'est "f est décroissante" ...
je ne sais pas où tu ranges la fonction sinus, là dedans ?


Oui le contraire de strictement croissante est f est décroissante.

La fonction sinus est bornée(entre -1 et 1) et ça dépend sur quel intervalle on l'étudie.

Posté par
lionel52re : Monotonie 29-09-18 à 06:19

Oula pas du tout. La fonction sinus est loin detre décroissante

Posté par
Razesre : Monotonie 29-09-18 à 10:33

@Ramanujan, et les fonctions ni croissantes ni de croissantes,  tu en fais quoi?

Posté par
Razesre : Monotonie 29-09-18 à 10:34

Pour toi une fonction est soit croissante soit décroissante?  

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 13:09

lionel52 @ 29-09-2018 à 06:19

Oula pas du tout. La fonction sinus est loin detre décroissante


Elle est décroissante sur [\dfrac{\pi}{2},\pi]

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 13:13

Razes @ 29-09-2018 à 10:33

@Ramanujan, et les fonctions ni croissantes ni de croissantes,  tu en fais quoi?


En effet j'ai oublié les fonctions constantes

Le contraire de :

\forall (x,y) \in I , x<y \Rightarrow f(x) < f(y)

Est si j'utilise les règles de logique :

\exists (x,y) \in I x<y et f(x) \geq f(y)

Posté par
lionel52re : Monotonie 29-09-18 à 13:15

Ramanujan @ 29-09-2018 à 13:09

lionel52 @ 29-09-2018 à 06:19

Oula pas du tout. La fonction sinus est loin detre décroissante


Elle est décroissante sur [\dfrac{\pi}{2},\pi]


Merci de linfo


Ramanujan @ 29-09-2018 à 13:13

Razes @ 29-09-2018 à 10:33

@Ramanujan, et les fonctions ni croissantes ni de croissantes,  tu en fais quoi?


En effet j'ai oublié les fonctions constantes

Le contraire de :

\forall (x,y) \in I , x<y \Rightarrow f(x) < f(y)

Est si j'utilise les règles de logique :

\exists (x,y) \in I x<y et f(x) \geq f(y)



Et ce contraire ca veut dire fonction décroissante?

Posté par
malou Webmasterre : Monotonie 29-09-18 à 13:24

Cette pomme est verte
Cette pomme n'est pas verte

Posté par
Razesre : Monotonie 29-09-18 à 14:40

Ramanujan @ 29-09-2018

Le contraire de :

\forall (x,y) \in I , x<y \Rightarrow f(x) < f(y)

Est si j'utilise les règles de logique :

\exists (x,y) \in I x<y et f(x) \geq f(y)


Oui, je veux bien. Et \exists, ce n'est pas pareil que  \forall. Ce qui ne veux pas dire que la fonction est décroissante.

Posté par
luzakre : Monotonie 29-09-18 à 15:29

Bonjour Ramanujan !
Toujours pareil avec toi !
Tu commences par te perdre (et essayer de nous perdre) dans des détails à priori sans importance.
Au lieu de t'obnubiler sur le problème -f tu aurais pu finir, en une ligne, avec l'inégalité proposée en notant qu'il y aurait un z\in[v,w] tel que f(z)=f(u) et adieu l'injectivité.

Après tu aurais pu poser la question concernant -f et cela aurait fait sérieusement avancer le machin!

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 17:06

Il sort d'où ce  z\in[v,w] tel que f(z)=f(u) ?

Posté par
lionel52re : Monotonie 29-09-18 à 17:21

Tu penses à faire des dessins en maths? Ca peut taider!

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 17:27

Oui dans les démos sur la continuité on utilise souvent des graphiques mais je comprends pas de quoi il parle ni le rapport avec ce qui a été fait avant.

Posté par
lionel52re : Monotonie 29-09-18 à 17:32

Et donc si tu fais un dessin tu pourras comprendre dou vient ce z...

Posté par
lafol Moderateurre : Monotonie 29-09-18 à 18:05

on en est toujours au même point, tu n'as toujours pas compris qu'une fonction peut n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante ....
dire que tu as la chance d'avoir un livre bien expliqué .... ça ne t'empêchera pas de raconter des conneries aux élèves de lycée si un inspecteur inconscient préfère t'en confier la responsabilité qu'avoir à dire aux parents qu'on manque de profs ...

Posté par
luzakre : Monotonie 29-09-18 à 18:21

Ramanujan @ 29-09-2018 à 17:06

Il sort d'où ce  z\in[v,w] tel que f(z)=f(u) ?

Une fonction continue avais-tu dit ?

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 18:28

lafol @ 29-09-2018 à 18:05

on en est toujours au même point, tu n'as toujours pas compris qu'une fonction peut n'être ni croissante, ni décroissante, ni constante ....
dire que tu as la chance d'avoir un livre bien expliqué .... ça ne t'empêchera pas de raconter des conneries aux élèves de lycée si un inspecteur inconscient préfère t'en confier la responsabilité qu'avoir à dire aux parents qu'on manque de profs ...


Sauf que j'aurai mon CAPES et avec une bonne note après on en reparlera.

Posté par
luzakre : Monotonie 29-09-18 à 18:32

Eh! oui, ça n'est pas exclu, hélas !

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 18:44

luzak @ 29-09-2018 à 18:21

Ramanujan @ 29-09-2018 à 17:06

Il sort d'où ce  z\in[v,w] tel que f(z)=f(u) ?

Une fonction continue avais-tu dit ?


Oui fonction continue !

Ah j'ai compris on utilise le TVI car f(u) \in [f(w),f(v)]

Et il existe u,v,w tels que : u<v<w et f(w) \leq f(u) \leq f(v)

  z\in[v,w] tel que f(z)=f(u)

Après j'ai pas trop encore vu les propriétés de l'injectivité avec les fonction pour l'instant.

Posté par
Ramanujanre : Monotonie 29-09-18 à 18:44

luzak @ 29-09-2018 à 18:32

Eh! oui, ça n'est pas exclu, hélas !


Pourquoi hélas ?

On progresse chaque jour non ?


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