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Monotonie et limites

Posté par
txxx 10-03-21 à 20:00

Bonsoir!
Je suis en face d'un exo devant lequel je n'arrive pas à démarrer.
Voici l'énoncé :
Soit f :[0,+ \infty ] \rightarrow R une application  majorée de classe C^{2} sur [0; +\infty ]
On supposera l'existence d'un réel a >0 tel que: \vee x \geq 0, f''(x) \geq af(x) \geq 0.

a) Montrer que f est décroissante sur [0; +\infty ].
b) Calculer \lim_{x\rightarrow +\infty}{f'(x)}.
c) Montrer que
\lim_{x\rightarrow +\infty}{f(x)} =0.
d) Montrer que \vee x \geq 0, f(x) \leq f(0)\e^{-x\sqrt a}
Merci d'avance.

Posté par
carpediemre : Monotonie et limites 10-03-21 à 20:35

salut

et alors ?

f" >= 0 donc f' est croissante ...

montre que si f' > 0 à partir d'un certain rang alors f n'est pas majorée ...

Posté par
verdurinre : Monotonie et limites 10-03-21 à 20:39

Bonsoir,
une idée pour commencer : il est évident que f' est croissante car f'' est positive.
Mais, comme f est majorée, on ne peut pas avoir f' croissante et positive.
Je te laisse formaliser tout ça.

Posté par
verdurinre : Monotonie et limites 10-03-21 à 20:42

Salut carpediem.
Je suis toujours lent.
Mais je vois qu'on est d'accord

Posté par
txxxre : Monotonie et limites 10-03-21 à 21:42

Merci. Si f' est positive,  f est croissante,  cependant je ne vois pas comment utiliser le fait que f' soit croissante pour montrer que f n'est pas majorée.

Posté par
verdurinre : Monotonie et limites 10-03-21 à 22:25

On a \begin{align}f(x)=\int\nolimits_0^x f'(t) \text{d}t\end{align}
Si il existe x_0 tel que f'(x_0)\geqslant a>0 on a f(x)\geqslant a x+ f(x_0) qui tend vers +\infty est n'est donc pas borné.

Posté par
verdurinre : Monotonie et limites 10-03-21 à 22:27

Pardon
\begin{align}f(x)=f(0)+\int\nolimits_0^x f'(t) \text{d}t\end{align}

Posté par
txxxre : Monotonie et limites 10-03-21 à 22:59

Ah oui! Merci beaucoup.

Posté par
verdurinre : Monotonie et limites 10-03-21 à 23:12

Service

Posté par
txxxre : Monotonie et limites 11-03-21 à 18:02

Pour les limites il n'y a pas de problème. Cependant pour la dernière question, je ne vois vraiment pas comment procéder.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Monotonie et limites 11-03-21 à 21:06

Bonjour

il me semble que le \boxed{d} est plutôt : \large \boxed{\forall x\geqslant0~,~f(x)\leqslant f(0)e^{-x\sqrt a}}

Si cette rectification est juste on pourra montrer le résultat encadré par l'absurde. En effet :

la fonction \large x\mapsto g(x)=f(x)-f(0)e^{-x\sqrt a} ne peut être strictement positive en aucun point de [0,+\infty[

car sinon il existerait au moins un certain x_0>0 tel que g(x_0)=\sup_{x\geqslant 0}|g(x)|>0

vu que g(0)=0 et \lim_{+\infty}g=0 , x_0 est alors un point critique de g

et comme g''(x_0)\geqslant ag(x_0)>0 , la dérivée de g serait strictement croissante dans un voisinage de x_0

ce qui veut dire que g prend des valeurs strictement plus grandes que g(x_0) sauf erreur de ma part bien entendu


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