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Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf

Posté par
Enkidu 19-08-22 à 22:08

Bonjour,

Soit Q \in \mathbb{C}[X] non constant.

Je dois montrer que :  \lim_{\lvert z \lvert \to +\infty} \lvert Q(z) \lvert = +\infty

Je ne vois pas trop comment m'y prendre, merci à vous pour votre aide.

Posté par
lafol Moderateurre : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 19-08-22 à 22:18

Bonjour
en mettant en facteur le terme de plus haut degré ?

Posté par
Enkidure : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 19-08-22 à 22:28

Bonjour lafol,

Merci pour ta réponse,

En supposant Q de degré m. Ça donnerait :

\lvert Q(z) \lvert = \lvert \sum_{k=0}^m a_k z^k \lvert = \lvert z^m \lvert \times \vert a_m+ \frac{a_{m-1}}{z}+\cdots+\frac{a_0}{z^m} \lvert .

Est-ce que le deuxième facteur de la dernière expression tend vers a_m  ? Je ne vois pas comment le montrer, le fait que z soit complexe me déroute un peu.

Posté par
Enkidure : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 03:11

Je voulais dire \lvert a_m \lvert  bien sûr.

Posté par
LeHiboure : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 10:23

Bonjour,

Sur , la valeur absolue d'une somme de termes est majorable par la somme des valeurs des valeurs absolues de ces termes

Posté par
LeHiboure : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 10:24

Oups, répétition "des valeurs" inutile...

Posté par
jarod128re : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 10:59

Bonjour,
j'interviens car il ne me semble pas exploitable de majorer une somme pour prouver que celle ci diverge vers +infini...
Je passerais simplement à la limite en rappelant que am est non nul.

Posté par
mousse42re : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 11:08

Salut,

On peut écrire ceci : z=|z|e^{i\theta}

Posté par
Rintarore : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 13:53

Bonjour,

pour jarod128 : oui, mais le posteur demandait comment prouver que le terme à droite en module tendait vers la module de a_m, donc l'indication de LeHibou est bien exploitable.

Bonne journée

Posté par
Ulmierere : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 14:27

Autre manière de procéder : par récurrence sur le degré de Q

Initialisation: Vrai pour deg(Q) = 1 parce qu'évidemment, pour tous complexes a\neq 0 et b

|az+b| = |a||z + b/a| \geqslant |a|(|z|-|b/a|) \underset{|z|\to\infty} {\longrightarrow}+\infty


Hérédité: On suppose le résultat vrai pour tout polynôme A\in \C_n[X], n\geqslant 2 et on veut montrer que c'est vrai pour tout polynôme de degré n+1.

Soit Q un polynôme de degré n+1. On réalise la division euclidienne de Q par X. Il existe A\in \C_n[X] et R complexe tels que Q(X) = XA(X) + R.

Pour tout z\in\C, |Q(z)| = |zA(z) + R| \geqslant |z||A(z)| - R  \underset{|z|\to\infty} {\longrightarrow}+\infty. Ce qu'il fallait démontrer.


Pour les deux étapes, j'utilise l'inégalité triangulaire inversée. Elle est peu utile en temps normal mais quand on veut montrer qu'un module tend vers l'infini elle convient très bien. Il suffit simplement d'écrire ta minoration et de passer à la \liminf

Posté par
Ulmierere : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 14:28

Erratum: dans l'hérédité, on suppose P(n) avec bien sûr n\geqslant 1 et non n\geqslant 2 comme je l'avais écrit

Posté par
Rintarore : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 14:29

Salut Ulmiere, j'aime bien ta démo. L'hérédité peut aller très vite si on utilise le fait que C est algébriquement clos, mais ce serait tirer sur une mouche avec un bazooka. Merci

Posté par
Enkidure : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 14:40

Bonjour à tous,

Je vous remercie pour toutes vos interventions de qualité, c'est très appréciable et instructif !

Bonne journée à vous

Posté par
Ulmierere : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 20-08-22 à 15:21

Rintaro @ 20-08-2022 à 14:29

Salut Ulmiere, j'aime bien ta démo. L'hérédité peut aller très vite si on utilise le fait que C est algébriquement clos, mais ce serait tirer sur une mouche avec un bazooka. Merci


En voilà une autre, en utilisant le théorème que tu mentionnes

Soit n = deg(Q). Il existe a_1,\cdots, a_n \in \C tq Q = dom(Q)\prod_{i=1}^n(X-a_i).

|Q(z)| = |dom(Q)|\prod_{i=1}^n|z-a_i| est un produit fini de facteurs qui tendent tous vers l'infini (sauf dom(Q), évidemment), donc tend vers l'infini.

Posté par
mousse42re : Monter I Q(z) I tend vers +inf quand IzI tend vers +inf 21-08-22 à 01:11

Salut,

On utilise ceci |z_1|=|z_1+z_2+(-z_2)|\le |z_1+z_2|+|-z_2|=|z_1+z_2|+|z_2| donc |z_1|-|z_2|\le |z_1+z_2|




Q(z)=\sum_{i=0}^na_iz^i

On a
|a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots a_1z| -|a_0|\le |Q(z)| or

|a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots a_2z^2|-|a_1z|\le |a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots a_1z|

Donc

|a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots a_2z^2|-|a_1z|-|a_0|\le |a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}-\cdots a_1z|-|a_0|\le |Q(z)|


Par itérations successives on trouve enfin :

|a_nz^n|-|a_{n-1}z^{n-1}|-\cdots -|a_0|\le |Q(z)|

|a_n|\cdot|z^n|-|a_{n-1}|\cdot|z^{n-1}|-\cdots -|a_0|\le |Q(z)|

|z^n|\left(|a_n|-\dfrac{|a_{n-1}|}{|z|}-\cdots-\dfrac{|a_0|}{|z^n|}\right)\le |Q(z)|

\underbrace{|z|^n}_{\rightarrow +\infty}\left(\underbrace{|a_n|-\dfrac{|a_{n-1}|}{|z|}-\cdots-\dfrac{|a_0|}{|z^n|}}_{\rightarrow |a_n|}\right)\le |Q(z)|


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