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Montrer l'équivalence (avec IPP)

Posté par
Lion 28-11-14 à 22:57

Bonsoir à tous,

je dois montrer la relation d'équivalence ci-dessous à l'aide d'une IPP, j'ai commencé à le montrer mais tout à la fin je bloque!

Pourriez-vous m'aider svp?

Voici l'énoncé et ce que j'ai pu "montrer":

+ooae-x² dx est équivalent à e-a²/2a
quand a->+oo

Tout d'abord je m'intéresse à l'intégrale ...

+ooae-x² dx =

+ooa(1/2x)* 2xe-x² dx


On pose:

u'=2xe-x² u=-e-x²
v=1/2x v'=-1/2x²

on a: soit A>0

[-1/2x * -e-x²]A x- +oox(e-x²)/2x²=

-1/2A*e-A² + 1/2x*e-x² - +oox(e-x²)/2x²

Or,

A->+oo alors lim -1/2A*e-A²  =0

Aussi j'ai mis en gras le résultat attendu, il "apparaît" dans ma démo, il ne me reste plus que l'intégrale à calculer le problème c'est que je tourne en rond si je l'a calcule!


Merci d'avance pour tous ceux qui pourront m'aider!

Sur ceux je vous souhaite de passer une bonne soirée.

Posté par
Barneyre : Montrer l'équivalence (avec IPP) 28-11-14 à 23:55

bonsoir,

quel désordre ! les signes se baladent, les égalités aussi...

Posté par
LeDinore : Montrer l'équivalence (avec IPP) 29-11-14 à 00:39

Refais proprement ton IPP. Elle te conduira à quelque chose comme :

\boxed {  I = \dfrac{e^{-a^2}}{2a} - J  }      ...avec :   J = \int _a^{+\infty} \dfrac{e^{-x^2}}{2x^2}dx < \int _a^{+\infty} \dfrac{e^{-x^2}}{2a^2}dx = \dfrac{I}{2a^2}

Il en découle que  J  est négligeable devant  I  en  + \infty,   ce qui confirme l'équivalence cherchée.

Posté par
ELMAKKIOUIMontrer l'équivalence 29-11-14 à 01:01

Salut  
vous avez bien commencer à calculer l'intégrale mais pourquoi vous avez injecter la variable x dans le calcule de première expression.
l'intégrale que vou avez est I=\int^{\infty}_a e^{-x^2}dx n'est ce pas ??
I=-\dfrac{1}{2A}e^{-A^2}+-\dfrac{1}{2a}e^{-a^2}+\int^{\infty}_a\dfrac{1}{2x}e^{-x^2}dx
Alors on doit calculer lim \dfrac{I}{\dfrac{e^{-a^2}}{2a}} qd a\rightarrow\infty.
comme vous avez écrit la limite de première terme tend ver 0, la deuxième et la troisième sont aussi triviales.
comme lim \dfrac{I}{\dfrac{e^{-a^2}}{2a}}=..., alors ...

Posté par
LeDinore : Montrer l'équivalence (avec IPP) 29-11-14 à 01:05

Effectivement le calcul fait par lion est très moche et il faut le refaire.
En particulier : pas de x dans les bornes de l'intégrale et pas besoin non plus d'introduire un A...

Posté par
Lionre : Montrer l'équivalence (avec IPP) 29-11-14 à 22:36

Bonsoir,

Merci à vous deux de m'avoir répondu, je vous en suis reconnaissant!

Tout d'abord, @Ledino lorsque vous dites:

"a+oo e-x[sup]2[/sup]/2a2 dx "

est-ce 'normal' qu'au numérateur vous mettez l'indice x alors qu'au dénominateur vous utilisez l'indice a ?

Puis, @elmekkaoui :

je ne comprends pas d'où vient le rapport qui suit :  I/e-a[sup]2[/sup]/2a  ?


Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
LeDinore : Montrer l'équivalence (avec IPP) 29-11-14 à 23:51

Citation :
est-ce 'normal' qu'au numérateur vous mettez l'indice x alors qu'au dénominateur vous utilisez l'indice a ?
Oui c'est parfaitement "normal".
Si tu remplaces le x du numérateur par a, tu obtiens une intégrale qui ne converge même pas et donc tu auras simplement majoré J par plus l'infini, ce qui te fait une belle jambe pour conclure ...

Pour mémoire, par IPP, tu obtiens :   I = \dfrac{e^{-a^2}}{2a} - J

Lorsque tu observes :   J = \int _a^{+\infty} \dfrac{e^{-x^2}}{2x^2}dx    ... tu ne sais pas l'intégrer : mais ce n'est pas grave.
Parce que tu vois bien que tu peux majorer la fonction sous l'intégrale :   \dfrac{e^{-x^2}}{2x^2}   par cette autre fonction :   \dfrac{e^{-x^2}}{2a^2}
... puisque qu'on a  x \ge a  sur tout le domaine d'intégration.

Et du coup :  J = \int _a^{+\infty} \dfrac{e^{-x^2}}{2x^2}dx < \int _a^{+\infty} \dfrac{e^{-x^2}}{2a^2}dx = \dfrac{I}{2a^2}

Conclure est alors facile puisqu'on a une relation entre  J  et  I  qui montre que  J  est bien négligeable devant  I  pour  a  au voisinage de + l'infini...
... ce qui confirme l'équivalence :   I \sim \dfrac{e^{-a^2}}{2a}

Posté par
Lionre : Montrer l'équivalence (avec IPP) 30-11-14 à 11:43

Excellent, j'ai tout compris !

Merci mille fois de votre aide! (en plus je pense que je pourrai refaire ce genre de démo moi-même)

Posté par
LeDinore : Montrer l'équivalence (avec IPP) 30-11-14 à 12:37

Citation :
Excellent, j'ai tout compris !
Super !

Citation :
en plus je pense que je pourrai refaire ce genre de démo moi-même
Il faut absolument que tu refasses déjà celle-ci tout seul intégralement pour bien "l'ancrer".
Pousser à fond un exercice par soi même est le meilleur moyen de créer une mémoire résiduelle à long terme .

Posté par
Lionre : Montrer l'équivalence (avec IPP) 30-11-14 à 12:57

Citation :
Il faut absolument que tu refasses déjà celle-ci tout seul intégralement pour bien "l'ancrer".
Pousser à fond un exercice par soi même est le meilleur moyen de créer une mémoire résiduelle à long terme .


Bien sûr! Merci pour votre conseil ^^

Posté par
LeDinore : Montrer l'équivalence (avec IPP) 30-11-14 à 13:56


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