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Niveau terminale
Montrer l'équivalence entre deux propositions
Posté par SwagVeranda
Bonjour à tous,
J'ai trouvé une méthode pour résoudre un exercice d'arithmétique mais elle ne parait pas optimale, aussi je voudrais savoir s'il n'y a plus concis.
Voici l'exercice :
Démontrer l'équivalence entre les deux propriétés P1 et P2 suivantes, pour a entier relatif :
P1 : l'équation d'inconnue x, ax
1[6] n'a aucune solution dans 
P2 : a est divisible par 2 ou par 3.
Voici ma réponse :
L'implication P2
P1 est relativement simple à montrer car si ax1[6] alors il vient nécessairement ax1[2] et ax1[3].
Montrons par contraposée l'implication inverse : supposons que a ne soit pas divisible par 2 et par 3, on a alors : a1[6] ou a5[6]. Dans le premier cas, x1[6] est solution, dans le second cas x5[6] est solution. CQFD
Comment auriez-vous traité cet exercice ? Est-ce qu'avec cette réponse (et la même rédaction) j'aurai eu tous les points ?
Merci.
salut
je ne comprends pas ta démo P_2 => P_1
tout simplement :
si a est multiple de 2 alors je multiplie par 3
si a est multiple de 3 alors je multiplie par 2
pour la réciproque je suis d'accord ...
maintenant on a directement :
l'équation d'inconnue x ax = 1 [6] n'a pas de solution <=> a n'est pas inversible modulo 6 <=> a est multiple de 2 ou de 3
Pour P_2 => P_1 :
ax1[6] ssi 
k
, ax=6k+1=3*2*k+1 => ( ax1[2] et ax1[3] ). Si a est un multiple de 2 ou 3 il ne vérifie pas la dernière condition. Mais votre réponse est plus appropriée je pense.
Sinon, la notion d'inverse n'est pas exigible au bac (de plus l'argument n'est-il pas trop "fort" ?). Néanmoins, pensez-vous que je serais pénalisé si je l'utilise ? Car cela fait quand même gagner du temps dans certaines situations.
ok pour non P_1 => non P_2 soit P_2 => P_1
parce qu'un il vient nécessairement ... est à proscrire au bac et alors ta réponse est tout autant valable que ma proposition ...
la notion d'inverse n'est qu'une expression et je pense que tu peux l'utiliser sans pb ... comme tu le dis : une façon efficace et rapide de traduire une situation ...
enfin une table de multiplication dans Z/6Z écrite sur la copie permet de justifier pleinement l'équivalence directement
(on peut se le permettre car 6 est "petit" donc la table est vite faite)
ou encore pour revenir à ce que tu a écrit et mettre une équivalence à la deuxième étape :
ce qui montre que l'équation a des solutions <=> a n'est pas multiple de 2 et de 3
soit l'équation n'a pas de solution <=> a est multiple de 2 ou de 3
...
Bonjour,
S'il est connu, on peut utiliser le théorème de Bezout :
Soit (p) la proposition suivante : ax 1 [6] sans solution dans .
(p) 
ax - 6n = 1 sans solution dans 
.
(p) a et 6 non premiers entre eux.
(p) 2 ou 3 divise a .
Merci pour vos deux dernières réponses, elles sont bien plus limpides que ma démonstration initiale ! Bonne soirée.