Bonjour Matador

Que peux-tu dire de l'ensemble des applications linéaires de S dans ker(g) ? (structure, etc .)

Kaiser

Honnêtement je vois pas trop ce que je pourrais en dire ...

Est-ce que ça ne serait pas un espace vectoriel de dimension finie par hasard ?

En effet, j'ai vérifié il s'agit bien d'un espace vectoriel, mais je vois pas comment poursuivre??

Je bloque totalement sur cette question ...

On y arrive...

Traduisons l'énoncé : dire que l'application linéaire non nulle existe revient à montrer que cet espace vectoriel (de dimension finie) n'est pas l'espace nul.

Jusque là, me suis-tu ?

Si oui, comment pourrait-on alors montrer que c'est vrai sans donner un exemple de telle application linéaire ?

Kaiser

Si je te suis bien, il s'agit de démontrer que L(S,Ker g) {0} ?

oui, c'est bien ça.

As-tu une idée de comment faire ?

Si S et Ker g ne sont pas vides, cela assure-t-il l'existence d'une application linéaire de S dans Ker g ?

Un espace vectoriel est par définition toujours non vide.
En particulier, l'ensemble des applications linéaires entre deux espace vectoriels est également non vide. En effet, il y a toujours l'application linéaire nulle (donc il y en a toujours au moins une).
Ici, on veut montrer qu'il n'y a pas qu'elle comme application linéaire.

Au passage, dans ton précédent message, voulais-tu vraiment dire "non vide" ou pensais-tu à autre chose ?

Kaiser

Ok, je vois.
Comment expliquer qu'une application linéaire existe ? Il faut trouver son expression ?

On pourrait faire ça en la construisant (en donnant par exemple l'image d'une base, etc) mais ici, il y a beaucoup plus simple.

PLus haut, je disais que cet espace vectoriel était de dimension finie.

Pour montrer qu'il n'est pas réduit à l'application nulle, que faut-il montrer ?

Il faut donc montrer que dim L(S,Ker g) {0} ?

oui mais sans les accolades (la dimension est un nombre).

Pourrais-tu me dire ce que vaut cette dimension ?

Plus généralement, si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie quelle est la dimension de L(E,F) ?

Kaiser

dim L(E,F) = dim E x dim F il me semble.

Ainsi, ici, dim L(S,Ker g) = dim S x dim Ker g.

Ce produit est nul ssi dim S est nul ou dim Ker g est nul.

Il s'agit donc de prouver que ni dim S, ni dim Ker g n'est nul.
Est-ce que c'est ça l'idée ?

Toutafé !!

Comme g a pour vp 0 alors Ker g n'est pas nul et par suite dim Ker g non plus.

Exact et pour S ?

On sait que 0 est aussi vp de f donc Ker f n'est pas nul. Du coup, f n'est pas injectif donc n'est pas un bijectif. Par suite, Im f n'est pas égal à E. Mais comme dim S + dim Im f = dim E (car S et Im f sont supplémentaires) alors dim S n'est pas nul.

y a-t-il un moyen de savoir si est unique?

Ce serait plutôt la non surjectivité qu'il faut mettre en lumière et que tu utilises au final quand tu dis que Im(f) est différent de E.

Ceci dit, lorsque les espaces de départ et d'arrivée sont de même dimension finie, alors l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité sont des notions équivalentes.

Hormis cette partie, l'idée générale est correcte mais je me permets de te donner une solution alternative.

En utilisant le théorème du rang ainsi que l'égalité que tu utilises, on obtient l'égalité .

Kaiser

Une telle application n'est pas unique car tout élément non nul de L(S,Ker(f)) va convenir. En fait, il y en a une infinité.

Il y aurait éventuellement unicité si tu imposes certaines conditions, mais ici, ce n'est pas le cas.

Kaiser

Nous avons ou

un supplémentaire de dans , donc

Razes > Je ne comprends pas d'où viennent ces deux inclusions. Il n'y a aucune hypothèse à ce sujet.

Montrer que

Erreur, je voulais que écrire les dimensions de et

Razes > Je ne comprends pas où tu veux venir. Cette inégalité n'a aucune raison d'être vérifiée dans le cas général.

Merci beaucoup j'ai bien compris cette méthode

Tu as  aussi évoqué une autre méthode avec une construction en donnant par exemple l'image d'une base, pourrais tu m'en dire plus sur cette façon de faire? ça m'intéresse

Razes > moi non plus je ne comprends où tu veux en venir

De plus et

Matador > En fait, après mûre réflexion ça revient à utiliser une grosse partie de ce que l'on a déjà fait.

Je te donne la marche à suivre :

1) On sait déjà que Ker(g) est non nul : on considère un élément a non nul de ker(g).
2) On montre que S est non réduit à 0 comme on l'a fait précédemment : on considère donc un vecteur non nul de S et on complète en une base de S (p étant la dimension de S)
3) on considère alors l'unique application linéaire de S dans ker(g) définie par pour tout i.
(une application linéaire est entièrement déterminée par la donnée de l'image d'une base).
Par construction, est clairement non nulle.

En fait, la seule chose que l'on n'utilise pas est le résultat sur la dimension de L(S,Ker(g)). Du coup, la méthode reste finalement assez proche.

C'est quoi le , il ne faut pas oublier que donc a une base constituée d'un vecteur au moins.

je crois comprendre mais pourquoi est unique quand tu dis qu'on considère l'unique application linéaire ?

Razes > Je l'ai précisé ici :

Matador > l'application linéaire est unique dans le sens où il n'y a qu'une application linéaire qui vérifie pour tout i.

Je vois, merci beaucoup Kaiser, c'est très clair à présent

Mais je t'en prie !

Vous croyez que je divague. Mais je ne suis pas d'accord du tout. Voici la preuve

est une base de de dimension , donc est aussi une base de S.

Donc pour ;  

Donc est nulle sur .

Trois choses :

1) je ne comprends pas pourquoi , mais bon, ça doit être une faute de frappe et ça n'a pas vraiment d'incidence
2) la famille que tu considère n'est pas une base. Elle n'est pas libre car la somme des vecteurs de cette famille est nulle.

3) De toutes manières, la façon dont je l'ai défini prouve qu'elle n'est pas nulle. Le vecteur a qui est clairement dans l'image est supposé non nul.

Kaiser

Bon prenons est aussi une base de .

Donc d'où donc

Même sans l'artifice de la nouvelle Base  

Bon, apparemment ce n'est pas une faute de frappe ; tu sembles affirmer que .

Je ne comprends pas pourquoi.

Je n'ai jamais dit que était constante (parce que du coup, si c'est le cas, l'application est effectivement nulle) ni qu'elle valait a sur chaque élément de n'importe quelle base.

J'ai simplement pris une base et une seule et j'ai défini l'application linéaire sur cette base précise.

Je ne comprends pas pourquoi ma construction ne te convainc pas.

Ah bon ?! J'ai beau lire et relire ta citation, je ne vois pas en quoi j'ai dit quelque chose de faux.

En ce qui me concerne, ne désigne absolument pas toutes les bases mais bien UNE ET UNE SEULE BASE, celle que j'ai considérée et aucune autre.

D'ailleurs, ça n'a absolument aucun sens (et je ne l'ai jamais fait) de définir une application linéaire sur toutes les bases car on n'est pas sûr d'avoir une compatibilité comme la linéarité, etc.

Voici ce que je n'ai jamais dit et que tu sembles me faire dire

Citation :
soit l'unique application linéaire telle que pour toute base, , pour tout i

n'importe quelle base mais orthonormée..

OK, mais pourquoi orthonormée maintenant ? ça n'a pas de sens de parler de ce genre de choses ; aucun produit scalaire n'a été défini.