Bon, visiblement on a bien brodé sur mon intervention initiale....

Considérons  4L+3,  ce nombre est congru à  3 modulo  4 , donc il n'est pas divisible par 2 , aucun de ses facteurs premiers ne divise  L . Donc  si  L  est le produit de "tous" les premiers congrus à  3 modulo ', ce nombre est divisible par  un autre  premier   p  (au moins).
Parmi ces premiers qui sont donc impairs, il y en a au moins un congru à 3 mod 4 (sinon le nombre de départ serait 1 mod 4) . cqfd.

Merci pour votre aide et explications.Bon je préfère arrêter l'exo ici car les trucs théoriques j'ai du mal et même la c'est encore un peu flou dans ma tête sur certains trucs mais bon
Merci quand même

c'est pourtant simple :

Bonsoir,
@bernardo314,
Si tu veux être compris, il faut être plus précis.

@princesyb,
N'abandonne pas, tu es tout près du but
Je culpabilise un peu, car mes interventions ont allongé la sauce et pu faire perdre de vue le principe de la démonstration :
Si on suppose que la liste des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est finie alors on aboutit à une contradiction.
Deux citations :

Citation :

notons quand même qu'il faut enlever  3  de la liste des   p_k sinon ça ne fonctionne pas .  

Oui, ou remplacer le +3 dans p par -1, comme proposé par carpediem ?

Merci maintenant j'ai tout compris✅✅
Donc ça veut dire si on met +3 ça cause pas de problème ?

Carpediem a dit si j'ai bien compris que 3 c'est pas bon car on peut avoir 3=4x0+3
Du coup il a proposé de mettre -1 car 3=4x1-1
Bon cette phrase c'est la seul que j'ai pas compris mais le reste oui

Ou bien je pense qu'on a choisi -1 parce que avec +3 on était pas sur que P soit premier

le pb c'est que 3 fait partie de la liste !!! donc il est évident que p est multiple de 3...

et si on divise par 3 en posant p' = p/3 on a p' = 4k + 1 ... et rien n'assure qu'il soit multiple d'un premier de la forme 4k + 3 et qui n'est pas dans la liste ...

et si p' est premier ben on s'en fout parce que ce n'est pas notre pb : on veut un premier de la forme 4k + 3 ...

Merci c'est bon maintenant ✅☺️

de rien

Je reprends mon message d'hier à 21h19, en tenant compte de la remarque de bernardo314 (bravo d'avoir réagi par une critique positive alors que je n'avais pas été particulièrement agréable ).
Et en essayant de ne rien oublier...

L'entier 3 est un nombre premier congru à 3 modulo 4 ; l'ensemble E des nombre premiers congrus à 3 modulo 4 est donc non vide.
Supposons que cet ensemble E soit fini, de cardinal n.

1) Soit p = 4M-1 où M est le produit des n entiers de l'ensemble E.
p = 4(M-1) + 3 ; donc l'entier p est congru à 3 modulo 4.

2) L'entier p qui est dans * se décompose en facteurs premiers.
Or l'entier p est impair ; donc 2 n'est pas un de ses facteurs premiers.
De plus, aucun des entiers de l'ensemble E ne divise l'entier p.
Ne restent possibles comme facteurs premiers pour l'entier p que des entiers congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est donc un produit de facteurs qui sont tous congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est congru à 1 modulo 4.

3) Il y a contradiction.

Sylvieg : je ne suis pas d'accord car le pb c'est que tu as un moins 1 au lieu d'un plus un : p = 4M - 1

donc la phrase "ne restent possibles ... " est fausse

je serai d'accord avec toi si p s'écrivait p = 4M + 1

ce me semble-t-il ...

et c'est ce -1 qui permet de conclure qu'il existe au moins un premier de la forme 4k + 3 qui n'est pas dans la liste et qui divise p (lorsque p n'est pas premier)

@princesyb,
De rien.
Ton sujet était intéressant et nous sommes plusieurs à nous être pris au jeu de trouver une démonstration.
Tu auras compris qu'aucune n'est simple et que toutes demandent des précautions et de la précision

@carpediem,
Nous n'avons pas la même démarche.
Tu colles à la démonstration d'Euclide alors que je tente un raisonnement par l'absurde.
J'ai voulu embrayer sur ce que princesyb avait amorcé dans son premier message avec

Merci beaucoup ☺️