Inscription / Connexion Nouveau Sujet

1 2 +


Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 17:47

puisque p = 3 [4] il ne peut être le produit de nombres premiers uniquement congrus à 1 [4] ...

Posté par
bernardo314
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 19:31

Bon, visiblement on a bien brodé sur mon intervention initiale....

Considérons  4L+3,  ce nombre est congru à  3 modulo  4 , donc il n'est pas divisible par 2 , aucun de ses facteurs premiers ne divise  L . Donc  si  L  est le produit de "tous" les premiers congrus à  3 modulo ', ce nombre est divisible par  un autre  premier   p  (au moins).
Parmi ces premiers qui sont donc impairs, il y en a au moins un congru à 3 mod 4 (sinon le nombre de départ serait 1 mod 4) . cqfd.

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 19:53

Merci pour votre aide et explications.Bon je préfère arrêter l'exo ici car les trucs théoriques j'ai du mal et même la c'est encore un peu flou dans ma tête sur certains trucs mais bon
Merci quand même

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 20:11

c'est pourtant simple :

carpediem @ 11-01-2022 à 17:47

puisque p = 3 [4] il ne peut être le produit de nombres premiers uniquement congrus à 1 [4] ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 21:07

Bonsoir,
@bernardo314,
Si tu veux être compris, il faut être plus précis.

Citation :
aucun de ses facteurs premiers ne divise L
les facteurs premiers de qui ?
Citation :
si L est le produit de "tous" les premiers congrus à 3 modulo ', ce nombre est divisible par un autre premier p
Quel nombre ?

Le souci n'est pas de faire une démonstration en 3 lignes, mais une démonstration que bernardo314 puisse avoir envie d'essayer de comprendre.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 21:19

@princesyb,
N'abandonne pas, tu es tout près du but
Je culpabilise un peu, car mes interventions ont allongé la sauce et pu faire perdre de vue le principe de la démonstration :
Si on suppose que la liste des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est finie alors on aboutit à une contradiction.
Deux citations :

Citation :
Supposons que la liste des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est finie
Soit L=p1,…,pn cette liste.
Citation :
p = 4 \prod_1^n p_k + 3
Autrement dit p = 4M+3 où M est le produit de tous les nombres de la liste L.
1) D'une part, l'entier p est congru à 3 modulo 4.
2) D'autre part, l'entier p se décompose en facteurs premiers.
Or l'entier p est impair ; donc 2 n'est pas un de ses facteurs premiers.
De plus, aucun des entiers de la liste L ne divise l'entier p.
Ne restent comme facteurs premiers pour l'entier p que des entiers congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est donc un produit de facteurs qui sont tous congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est congru à 1 modulo 4.
3) Il y a contradiction.

Posté par
bernardo314
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 11-01-22 à 22:17

notons quand même qu'il faut enlever  3  de la liste des   pk sinon ça ne fonctionne pas .  

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 07:54

Oui, ou remplacer le +3 dans p par -1, comme proposé par carpediem ?

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 09:16

Merci maintenant j'ai tout compris✅✅
Donc ça veut dire si on met +3 ça cause pas de problème ?

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 09:17

Carpediem a dit si j'ai bien compris que 3 c'est pas bon car on peut avoir 3=4x0+3
Du coup il a proposé de mettre -1 car 3=4x1-1
Bon cette phrase c'est la seul que j'ai pas compris mais le reste oui

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 13:46

Ou bien je pense qu'on a choisi -1 parce que avec +3 on était pas sur que P soit premier

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 15:14

le pb c'est que 3 fait partie de la liste !!! donc il est évident que p est multiple de 3...

et si on divise par 3 en posant p' = p/3 on a p' = 4k + 1 ... et rien n'assure qu'il soit multiple d'un premier de la forme 4k + 3 et qui n'est pas dans la liste ...

et si p' est premier ben on s'en fout parce que ce n'est pas notre pb : on veut un premier de la forme 4k + 3 ...

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 16:56

Merci c'est bon maintenant ✅☺️

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 17:07

de rien

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 17:28

Je reprends mon message d'hier à 21h19, en tenant compte de la remarque de bernardo314 (bravo d'avoir réagi par une critique positive alors que je n'avais pas été particulièrement agréable ).
Et en essayant de ne rien oublier...

L'entier 3 est un nombre premier congru à 3 modulo 4 ; l'ensemble E des nombre premiers congrus à 3 modulo 4 est donc non vide.
Supposons que cet ensemble E soit fini, de cardinal n.

1) Soit p = 4M-1 où M est le produit des n entiers de l'ensemble E.
p = 4(M-1) + 3 ; donc l'entier p est congru à 3 modulo 4.

2) L'entier p qui est dans * se décompose en facteurs premiers.
Or l'entier p est impair ; donc 2 n'est pas un de ses facteurs premiers.
De plus, aucun des entiers de l'ensemble E ne divise l'entier p.
Ne restent possibles comme facteurs premiers pour l'entier p que des entiers congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est donc un produit de facteurs qui sont tous congrus à 1 modulo 4.
L'entier p est congru à 1 modulo 4.

3) Il y a contradiction.

Posté par
carpediem
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 17:44

Sylvieg : je ne suis pas d'accord car le pb c'est que tu as un moins 1 au lieu d'un plus un : p = 4M - 1

donc la phrase "ne restent possibles ... " est fausse

je serai d'accord avec toi si p s'écrivait p = 4M + 1

ce me semble-t-il ...

et c'est ce -1 qui permet de conclure qu'il existe au moins un premier de la forme 4k + 3 qui n'est pas dans la liste et qui divise p (lorsque p n'est pas premier)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 12-01-22 à 21:37

@princesyb,
De rien.
Ton sujet était intéressant et nous sommes plusieurs à nous être pris au jeu de trouver une démonstration.
Tu auras compris qu'aucune n'est simple et que toutes demandent des précautions et de la précision

@carpediem,
Nous n'avons pas la même démarche.
Tu colles à la démonstration d'Euclide alors que je tente un raisonnement par l'absurde.
J'ai voulu embrayer sur ce que princesyb avait amorcé dans son premier message avec

Citation :
Supposons que la liste des nombres premiers congrus à 3 modulo 4 est fini

Et j'ai mis trop longtemps à comprendre que ton départ n'était pas le même. Et que donc, je continuais à mettre le bazar

Une démonstration par l'absurde pour les premiers tout courts :
Avec -1

Posté par
princesyb
re : Montrer qu’il existe une infinité de nombre premier congrus 14-01-22 à 21:08

Merci beaucoup ☺️

1 2 +




Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1489 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !